Toán 9 · Hằng số tốt nhất và dấu bằng ở biên: cận dưới đúng của thương, cực tiểu ở mép, miền tam giác, dồn biến, điểm trong chạm trần, miền (q, r) và hằng số vô tỉ qua 7 phòng thí nghiệm tương tác
Bài khái niệm Toán 9 học sinh giỏi về hằng số tốt nhất của bất đẳng thức: hằng số tốt nhất là cận dưới đúng của thương f/g, cực tiểu ở mép không cần độ dốc…
TOÁN 9 · HỌC SINH GIỎI · BÀI GIẢNG KHÁI NIỆM
Hằng số tốt nhất và dấu bằng ở biên
Có những bất đẳng thức mà dấu bằng không xảy ra khi các biến bằng nhau, cũng không xảy ra ở chỗ đồ thị “nằm ngang”. Nó xảy ra ở mép của miền, nơi một biến bằng 0. Bài giảng này trả lời hai câu hỏi: hằng số tốt nhất của một bất đẳng thức thực chất là gì , và vì sao ta phải tìm nó ở cả ruột lẫn mép của miền . Bảy phòng thí nghiệm cho bạn kéo, thử, và tự thấy hằng số tốt nhất lộ diện ra sao.
7 phòng thí nghiệm tương tác hằng số vô tỉ nằm ở biên 8 hiểu lầm được phản biện 14 câu kiểm tra khái niệm không giải đề
1 Cận dưới đúng 2 Biên và độ dốc 3 Miền tam giác 4 Dồn biến 5 Chạm điểm trong 6 Miền (q, r) 7 Hằng số vô tỉ 8 Atlas 9 Kiểm tra ★ Tổng kết
1 Hằng số tốt nhất chính là cận dưới đúng
Một bất đẳng thức có hằng số thường viết dưới dạng f ≥ k·g , trong đó g luôn dương trên miền đang xét. Chia hai vế cho g, ta được một câu hỏi về thương R = f/g : bất đẳng thức đúng với mọi điểm của miền khi và chỉ khi R ≥ k tại mọi điểm . Hằng số k “làm được” chính là số nằm không cao hơn mọi giá trị của R.
k làm được ⇔ k ≤ inf R ⇒ hằng số tốt nhất = inf R
Ký hiệu inf (cận dưới đúng) là số lớn nhất không vượt quá mọi giá trị của R. Nếu R thực sự chạm tới giá trị ấy tại một điểm, ta gọi điểm đó là trường hợp dấu bằng và inf trở thành min. Nhưng không phải lúc nào cũng có điểm chạm: có những hàm tiến sát cận dưới mãi mà không bao giờ đạt, khi đó hằng số tốt nhất vẫn tồn tại, chỉ là không có dấu bằng.
Từ đó mọi bài toán “tìm hằng số tốt nhất” rút về ba câu hỏi: (1) cận dưới đúng của R bằng bao nhiêu, (2) nó đạt ở đâu, (3) có thật sự đạt không. Phòng thí nghiệm đầu tiên cho bạn chơi với bốn thương một biến.
Lab 1 · Kéo đường ngang y = k lên đến lúc chạm đồ thị
Chọn một thương R(t) với t ≥ 0. Kéo k: phần đồ thị nằm dưới đường ngang bị tô đỏ, đó là nơi bất đẳng thức f ≥ k·g bị phá. Bất đẳng thức đúng khi không còn đoạn đỏ nào.
chọn thương R
k = –
Đường cong: R(t). Đường vàng nét đứt: y = k. Đoạn đỏ: nơi R(t) < k. Chấm trắng: nơi R đạt cận dưới (nếu có).
k đang chọn
hằng số tốt nhất
điểm chạm
kết luận
2 Dấu bằng ở biên: độ dốc không cần bằng 0
Khi cực tiểu của R nằm trong ruột của đoạn, đồ thị phải “nằm ngang” ở đó, tức độ dốc bằng 0. Đây là cơ sở của cách làm quen thuộc: đặt độ dốc bằng 0 rồi giải. Nhưng nếu cực tiểu nằm ở đầu mút t = 0 thì chuyện khác: đồ thị có thể đang đi lên với độ dốc dương, và điểm thấp nhất đơn giản là điểm xuất phát. Cách làm “giải độ dốc bằng 0” sẽ không thấy điểm này.
Ví dụ gọn nhất là họ R s (t) = (t² + s·t + 2)/(t + 2), t ≥ 0. Tại t = 0 giá trị luôn bằng 1, còn độ dốc bằng (s − 1)/2 . Nếu s < 1 độ dốc âm: đồ thị đi xuống trước, cực tiểu rơi vào ruột tại t = √(6 − 2s) − 2 và hằng số tốt nhất nhỏ hơn 1. Nếu s ≥ 1 đồ thị không đi xuống nữa: cực tiểu bị “khóa” ở mép t = 0 và hằng số tốt nhất đứng yên ở 1.
Còn một công cụ không cần độ dốc nào cả: hoàn thành bình phương . Với thương (1 + t²)/(1 + t) ta có đúng đẳng thức
1 + t² − (2√2 − 2)(1 + t) = (t − (√2 − 1))² ≥ 0
nên hằng số tốt nhất là 2√2 − 2, đạt khi t = √2 − 1. Bình phương cho ta cả giá trị lẫn trường hợp dấu bằng trong một dòng. Hãy kéo s trong phòng thí nghiệm sau và xem cực tiểu trượt từ ruột vào mép.
Lab 2 · Cực tiểu trượt vào mép khi s tăng
Kéo s. Bên trái: đồ thị R s (t) cùng tiếp tuyến tại t = 0 (tím) và, khi cực tiểu nằm ở ruột, tiếp tuyến nằm ngang tại đó (xanh). Bên phải: hằng số tốt nhất k*(s). Với s ≥ 1 đường k* nằm ngang vì cực tiểu bị khóa ở mép.
s = –
R s (t) trên t ≥ 0. Chấm trắng: điểm thấp nhất.
k*(s). Chấm vàng: s hiện tại.
độ dốc tại t = 0
điểm thấp nhất tại t =
hằng số tốt nhất
vị trí
3 Miền nhiều biến: biên là nơi có biến bằng 0
Với ba số không âm a, b, c có tổng a + b + c = 1, mỗi bộ (a, b, c) là một điểm trong một tam giác : ba đỉnh là (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), ba cạnh là nơi một biến bằng 0, tâm là (⅓, ⅓, ⅓). “Biên” của miền chính là ba cạnh ấy. Khi đề cho a, b, c ≥ 0 thì cạnh thuộc miền; khi đề cho a, b, c > 0 thì cạnh bị bỏ ra ngoài nhưng vẫn là nơi ta tiến sát được.
Xét biểu thức không đối xứng F = a²b + b²c + c²a . Nó chỉ bất biến khi hoán vị vòng (a, b, c) → (b, c, a). Thói quen là thử ngay a = b = c: F(⅓, ⅓, ⅓) = 3·(1/27) = 1/9 ≈ 0,1111. Nhưng tại (⅔, ⅓, 0) ta có F = (4/9)·(1/3) = 4/27 ≈ 0,1481, lớn hơn. Thử tâm không cho ta giá trị lớn nhất. Phòng thí nghiệm này vẽ bản đồ nhiệt của F trên cả tam giác.
Lab 3 · Bản đồ nhiệt của F = a²b + b²c + c²a trên tam giác
Bấm hoặc kéo trên tam giác để chọn điểm, hoặc dùng hai thanh trượt. Màu càng sáng, F càng lớn. Ba vòng vàng đánh dấu ba điểm lớn nhất; chúng nằm trên các cạnh, không phải ở tâm.
a = –
b = –
Đỉnh trái-dưới: a = 1. Đỉnh phải-dưới: b = 1. Đỉnh trên: c = 1. Vòng vàng: F = 4/27. Điểm trắng: lựa chọn hiện tại.
c = 1 − a − b
F so với 4/27
vị trí
4 Dồn biến: đẩy một biến về 0 bằng một bất đẳng thức chặn
Làm sao chứng minh rằng F không vượt quá 4/27 thay vì chỉ nhìn bản đồ? Ý tưởng là dồn biến : chứng tỏ rằng nếu ta dồn một biến vào biến kề nó rồi cho biến ấy bằng 0 thì giá trị của biểu thức chỉ tăng lên, nên cực đại buộc phải nằm ở biên.
Giả sử b là số ở giữa (nghĩa là a ≥ b ≥ c hoặc c ≥ b ≥ a). Một phép khai triển cho đúng đẳng thức
b(a + c)² − (a²b + b²c + c²a + abc) = c(a − b)(b − c)
Vế phải không âm vì b ở giữa a và c. Vậy F + abc ≤ b(a + c)² . Mà b(a + c)² chính là giá trị của F tại điểm đã dồn (a + c, b, 0). Cuối cùng, theo bất đẳng thức AM-GM cho ba số b, (a + c)/2, (a + c)/2 với tổng 1:
b(a + c)² = 4·b·((a + c)/2)·((a + c)/2) ≤ 4·(1/3)³ = 4/27
Chuỗi bất đẳng thức hoàn chỉnh là F ≤ F + abc ≤ b(a + c)² ≤ 4/27 . Bạn đã thấy: bước cuối chỉ chạm dấu bằng khi b = ⅓ và a + c = ⅔, cộng với c = 0, tức tại (⅔, ⅓, 0) và các hoán vị vòng của nó.
Một chi tiết quan trọng: F là biểu thức vòng , nên ta chỉ được xoay vòng (a, b, c) → (b, c, a) → (c, a, b), không được đổi chỗ tùy ý. Nhưng phép xoay vòng luôn đưa được số ở giữa vào vị trí b, nên điều kiện “b ở giữa” không làm mất tính tổng quát.
Lab 4 · Dồn biến: mũi tên từ điểm bất kỳ xuống cạnh c = 0
Chọn (a, b, c). Chương trình xoay vòng để số ở giữa vào vị trí b rồi vẽ mũi tên từ điểm đó xuống điểm đã dồn (a + c, b, 0) trên cạnh c = 0. Bên phải là bốn thanh của chuỗi F ≤ F + abc ≤ b(a + c)² ≤ 4/27, mỗi thanh không vượt thanh kế tiếp. Bỏ chọn “xoay vòng” để thấy chuỗi gãy khi b không ở giữa.
a = –
b = –
xoay vòng để b ở giữa
Chấm trắng: bộ (a, b, c) sau khi xoay vòng. Chấm vàng: điểm đã dồn (a + c, b, 0). Màu: giá trị của F.
Bốn thanh: F, F + abc, b(a + c)², 4/27. Khi b ở giữa, thanh sau dài hơn hoặc bằng thanh trước.
bộ sau khi xoay (a, b, c)
F tại điểm đã dồn = b(a + c)²
b(a + c)² − (F + abc)
c(a − b)(b − c)
5 Chỉnh hằng số: khi nào điểm trong bắt đầu chạm?
Ta vừa có hai điều: F ≤ 4/27 với dấu bằng chỉ ở biên, và F + abc ≤ 4/27 với dấu bằng ở cả biên lẫn tâm (tại tâm F + abc = 1/9 + 1/27 = 4/27). Điều gì xảy ra ở giữa? Xét họ
F + λ·abc ≤ 4/27 (với a + b + c = 1, a, b, c ≥ 0)
Trên biên c = 0, tích abc = 0 nên giá trị F + λ·abc không phụ thuộc λ: biên “mù” với λ . Chỉ có điểm trong mới cảm nhận được λ. Tại tâm, F + λ·abc = 1/9 + λ/27, và nó vượt 4/27 đúng khi λ > 1. Với λ ≤ 1 ta có F + λ·abc ≤ F + abc ≤ 4/27 (vì abc ≥ 0). Vậy λ tốt nhất là 1 , và nó bị khống chế bởi điểm trong, không phải bởi biên.
Đây là hình ảnh đáng nhớ: giữ nguyên biên, tăng λ, và ở một thời điểm nhất định điểm trong “nhô lên” chạm trần. Lúc ấy bất đẳng thức có hai nhóm dấu bằng cùng lúc. Vượt quá, nó sai.
Lab 5 · Kéo λ và xem điểm trong chạm trần
Màu thể hiện phần dư 4/27 − (F + λ·abc): sáng là còn dư nhiều, tối là sát trần, đỏ là vượt trần (bất đẳng thức bị phá). Vòng vàng đánh dấu các điểm chạm trần.
λ = –
Đỏ: F + λ·abc > 4/27. Vòng vàng: dấu bằng.
giá trị lớn nhất của F + λ·abc
4/27
tại tâm
kết luận
6 Nhìn qua cặp (q, r): miền khả thi và đường thẳng tiếp xúc
Với bất đẳng thức đối xứng, ta đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc và chuẩn hóa p = 1. Mỗi bộ (a, b, c) cho một điểm (q, r) trên mặt phẳng. Các điểm có thể xuất hiện lấp đầy một vùng cong nhỏ. Biên của vùng này gồm: đoạn r = 0 với q ≤ ¼ (đó chính là cạnh c = 0 của tam giác) và hai đường cong ứng với trường hợp hai biến bằng nhau . Đây là nội dung quen gọi là nguyên lý u-v-w ; ta dùng nó như công cụ có sẵn và để Lab kiểm lại trên lưới.
Lợi thế lớn: nhiều bất đẳng thức bậc ba, bậc bốn trở thành bất đẳng thức bậc nhất theo r , tức là một đường thẳng trên mặt phẳng (q, r). Bất đẳng thức đúng khi cả vùng nằm cùng một phía của đường thẳng. Tìm hằng số tốt nhất tương đương với xoay hoặc dịch đường thẳng cho đến khi vừa chạm vùng . Điểm chạm luôn là điểm của biên vùng : hoặc trên đoạn r = 0, hoặc trên một đường “hai biến bằng nhau”.
Ví dụ trung tâm là họ 1 − m·q + k·r ≥ 0 (tức p³ − m·p·q + k·r ≥ 0). Khi m = 3 và k = 0 ta có p² ≥ 3q. Khi m = 4 và k = 9 ta có bất đẳng thức Schur p³ − 4pq + 9r ≥ 0 với dấu bằng ở tâm (1, 1, 1) và ở (1, 1, 0) , một điểm biên. Với m giữa 3 và 4, hằng số k tốt nhất là 9m − 27 , vì
1 − m·q + (9m − 27)·r = (4 − m)·(1 − 3q) + (m − 3)·(1 − 4q + 9r) ≥ 0
là tổ hợp lồi của hai bất đẳng thức đúng, và tại tâm nó bằng đúng 0. Còn m > 4 thì sao? Tại a = b = ½, c = 0 ta có q = ¼, r = 0 và 1 − m/4 < 0 cho mọi k. Không có hằng số nào cứu được: biên “khóa” m ≤ 4, còn điểm trong “khóa” k ≥ 9m − 27. Hãy tự thấy điều đó.
Lab 6 · Đường thẳng 1 − m·q + k·r = 0 và vùng khả thi
Trục dọc vẽ 27r để tâm (⅓, 1) nằm ở độ cao 1. Vùng xanh là mọi (q, r) có thật. Đường thẳng tím là 1 − m·q + k·r = 0; bất đẳng thức đúng khi cả vùng nằm phía trên hoặc trên đường. Kéo m và k; nút “k tốt nhất” đặt k = 9m − 27.
m = –
k = –
Vùng xanh: các cặp (q, 27r) có thật. Đường tím: 1 − m·q + k·r = 0. Chấm vàng: tâm. Chấm cam: (½, ½, 0).
giá trị nhỏ nhất của 1 − m·q + k·r
k tốt nhất cho m này
tại (½, ½, 0)
kết luận
7 Hằng số vô tỉ nằm ở biên
Bây giờ là phần đáng ngạc nhiên: một bất đẳng thức với hệ số nguyên mà hằng số tốt nhất là số vô tỉ , và dấu bằng chỉ xảy ra ở biên, tại một tỉ lệ a : b cũng vô tỉ. Với C > 0, xét
p⁴ + 32·q² + C·p·r ≥ k·p²·q (p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc, a, b, c ≥ 0)
Bước 1: bỏ số hạng không âm. Vì C·p·r ≥ 0, vế trái ≥ p⁴ + 32q². Bước 2: hoàn thành bình phương. Ta có p⁴ + 32q² − 8√2·p²q = (p² − 4√2·q)² ≥ 0. Vậy bất đẳng thức đúng với k = 8√2 ≈ 11,3137.
Bước 3: dấu bằng. Cả hai bước phải chạm dấu bằng cùng lúc: C·p·r = 0, tức r = 0, tức c = 0 (một biến bằng 0, tức nằm ở biên); và p² = 4√2·q. Khi c = 0 thì (a + b)² = 4√2·ab, nghĩa là a : b ≈ 0,7706 : 0,2294. Điểm này có thật và nằm trên cạnh c = 0. Với k lớn hơn 8√2, tại đúng điểm ấy bất đẳng thức bị phá. Vậy hằng số tốt nhất là 8√2 , đạt duy nhất ở biên.
Điều kiện C > 0 là mấu chốt. Nếu C = 0 thì số hạng C·p·r biến mất và p² = 4√2·q cũng xảy ra tại cả những điểm trong (với r > 0). Chỉ cần thêm một lượng nhỏ C·p·r dương, các điểm trong bị đẩy lên khỏi mức dấu bằng, và biên trở thành nơi duy nhất chạm. Nếu miền chỉ cho a, b, c > 0 thì dấu bằng không còn đạt được, nhưng hằng số tốt nhất vẫn là 8√2, vì ta tiến sát biên tùy ý.
Lab 7 · Thương (p⁴ + 32q² + C·p·r)/(p²·q) trên 700 điểm
Mỗi chấm là một bộ (a, b, c) ngẫu nhiên (cố định hạt giống) vẽ theo q. Đường hồng là các điểm biên c = 0, nơi thương là 1/q + 32q. Nét đứt vàng là 8√2. Chấm cam là một điểm trong cố định (c > 0) có p² = 4√2·q. Kéo C: khi C = 0 chấm cam nằm đúng trên nét đứt; khi C > 0 nó bay lên khỏi nét đứt, chỉ còn biên chạm.
C = –
Chấm xanh: điểm trong ngẫu nhiên (c > 0). Đường hồng: biên c = 0. Nét đứt vàng: 8√2 ≈ 11,3137. Chấm trắng: điểm biên đạt dấu bằng. Chấm cam: điểm trong có p² = 4√2·q.
nhỏ nhất trong 700 điểm trong
8√2
điểm biên đạt dấu bằng (a, b, 0)
thương tại chấm cam
8 Atlas hiểu lầm · tám ngộ nhận và lời phản biện
Bấm vào từng thẻ để mở.
1 · “Dấu bằng chỉ xảy ra khi các biến bằng nhau”
Sai. Với F = a²b + b²c + c²a và a + b + c = 1, giá trị lớn nhất 4/27 đạt tại (⅔, ⅓, 0): ba biến không bằng nhau, một biến thậm chí bằng 0. Giá trị tại tâm chỉ là 1/9. Dấu bằng nằm ở nơi biểu thức “muốn” đi, bị miền chặn lại ở mép.
2 · “Thử a = b = c là đủ để biết hằng số tốt nhất”
Thử tâm chỉ cho một điều kiện cần . Nếu ta tin F ≤ 1/9 vì tâm cho 1/9, ta đã nhận một bất đẳng thức sai: tại (⅔, ⅓, 0), F = 4/27 > 1/9. Hằng số tốt nhất là cận của mọi điểm, nên phải xét cả ruột lẫn biên.