Toán 9 · Tổng ước số bằng 2n: số thiếu, số dồi dào, trần sigma(n)/n, bội và ước, so khớp dạng 2^(p-1)(2^p-1) và thu hẹp phạm vi của số hoàn hảo qua 7 phòng thí nghiệm tương tác
Bài khái niệm Toán 9 học sinh giỏi về điều kiện tổng các ước bằng 2n: chỉ số tổng ước sigma(n)/n, số thiếu, dồi dào và hoàn hảo, trần p/(p-1) không phụ thuộc…
TOÁN 9 · HỌC SINH GIỎI · BÀI GIẢNG KHÁI NIỆM
Tổng ước số bằng 2n
Số 6 có các ước 1, 2, 3, 6 và 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2·6. Số 28 cũng thế. Người ta gọi chúng là số hoàn hảo. Câu hỏi thú vị không phải là “tìm thêm số hoàn hảo”, mà là: khi một đề bài cho điều kiện tổng các ước bằng 2n, ta thu hẹp phạm vi của n như thế nào mà không cần thử từng số? Bài giảng này dạy ba công cụ: ghép ước theo cặp, chặn tổng ước bằng vài ước chắc chắn, và nhìn từng thừa số nguyên tố đóng góp bao nhiêu. Có bảy phòng thí nghiệm để bạn thử và bẻ gãy từng công cụ.
7 phòng thí nghiệm tương tác sàng loại bằng ước chắc chắn 8 hiểu lầm được phản biện 14 câu kiểm tra khái niệm không giải đề
1 Ước đi cặp 2 Nhân tính 3 Bội và ước 4 Ước chắc chắn 5 Sàng loại 6 Phản ví dụ 7 Euclid–Euler 8 Atlas 9 Kiểm tra ★ Tổng kết
1 Ước đi cặp: tổng ước chính là tổng nghịch đảo
Ký hiệu σ(n) là tổng tất cả ước dương của n, kể cả 1 và chính n. Số n gọi là hoàn hảo khi σ(n) = 2n, dồi dào khi σ(n) > 2n, và thiếu khi σ(n) < 2n. Chú ý rằng 2n vì tổng đã tính cả n; nói cách khác, tổng các ước thực sự (không kể n) của số hoàn hảo bằng đúng n.
Ý tưởng đầu tiên rất nhỏ: ước đi theo cặp . Nếu d là ước của n thì n/d cũng là ước. Khi d chạy qua tất cả ước của n thì n/d cũng chạy qua tất cả ước, chỉ đảo thứ tự. Vì vậy
σ(n) / n = Σ d / n = Σ n/d / n = Σ 1/d (tổng lấy trên mọi ước d của n)
Đại lượng σ(n)/n gọi là chỉ số dồi dào . Nó biến điều kiện “tổng ước bằng 2n” thành điều kiện “tổng nghịch đảo các ước bằng 2”, không còn chứa n. Các số hạng d/n còn có nghĩa hình học: mỗi ước đóng góp một đoạn dài d/n, và n tự đóng góp đúng 1 đoạn đơn vị. Số hoàn hảo là số mà các đoạn xếp nối nhau dài đúng 2.
Lab 1 · Ước đi cặp · xếp các đoạn d/n
Chọn n. Phía trên, mỗi cặp ước (d, n/d) được nối bằng một cung. Phía dưới, các đoạn d/n xếp nối nhau: vạch 1 là chính n, vạch 2 là mốc “hoàn hảo”. Đoạn tổng vượt vạch 2 thì n dồi dào, chưa tới thì n thiếu.
n = –
Trên: vị trí các ước theo thang lôga, nối cặp (d, n/d). Dưới: các đoạn d/n; vạch trắng tại 1 và 2.
số ước
σ(n)
σ(n)/n
loại
2 Nhân tính: mỗi thừa số nguyên tố góp một hệ số
Nếu hai số nguyên tố cùng nhau thì ước của tích là tích của một ước bên này với một ước bên kia, nên σ(ab) = σ(a)σ(b). Với lũy thừa của số nguyên tố, σ(p^k) = 1 + p + … + p^k. Từ đây chỉ số dồi dào tách thành tích theo từng nguyên tố:
σ(n)/n = Π (1 + 1/p + 1/p² + … + 1/p^k) (tích lấy trên các lũy thừa p^k đúng bằng n)
Mỗi hệ số trong tích luôn nhỏ hơn p/(p − 1) , vì tổng 1 + 1/p + 1/p² + … vô hạn bằng đúng p/(p − 1) và ta chỉ lấy một đoạn đầu. Vậy với n > 1, chỉ số dồi dào của n luôn nhỏ hơn tích các p/(p − 1) trên các nguyên tố chia hết n . Đây là một cái trần không phụ thuộc số mũ.
Trần cho ta một công cụ loại rất mạnh. Một lũy thừa p^k của một nguyên tố có trần p/(p − 1) ≤ 2, nên luôn thiếu. Số chỉ có ước nguyên tố 2 và 3 có trần 2·(3/2) = 3, còn nếu số lẻ chỉ có hai ước nguyên tố thì trần nhiều nhất là (3/2)(5/4) = 1,875 < 2, do đó số lẻ muốn hoàn hảo hoặc dồi dào cần ít nhất ba ước nguyên tố khác nhau .
Lab 2 · Nhân tính · hệ số của từng nguyên tố
Chọn số mũ của 2, 3, 5, 7, 11. Mỗi thanh là hệ số 1 + 1/p + … + 1/p^k của một nguyên tố; thanh tím là tích của chúng (chỉ số dồi dào); vạch cam là trần Π p/(p − 1) trên các nguyên tố đang dùng; vạch trắng là mốc 2.
mũ của 2: –
mũ của 3: –
mũ của 5: –
mũ của 7: –
mũ của 11: –
Thanh màu: hệ số từng nguyên tố. Thanh tím: tích. Cam: trần. Trắng: mốc 2.
σ(n)
σ(n)/n
trần Π p/(p − 1)
3 Bội và ước: chỉ số dồi dào không giảm khi nhân lên
Nếu m chia hết n thì các số n/d với d chạy qua ước của m đều là ước của n, và chúng đôi một khác nhau. Do đó
σ(n) ≥ Σ d | m n/d = n · σ(m)/m , tức là σ(n)/n ≥ σ(m)/m
Đây là tính đơn điệu : đi từ một số lên bội của nó, chỉ số dồi dào không bao giờ giảm. Ngược lại, đi từ n xuống ước m của nó thì chỉ số không tăng. Hệ quả có ngay hai điều: bội của số dồi dào hoặc hoàn hảo thì dồi dào hoặc hoàn hảo, và ước của số thiếu thì thiếu.
Bất đẳng thức trên là ngặt khi n lớn hơn m. Lý do rất đáng nhớ: nếu n = km với k ≥ 2 thì số 1 là ước của n nhưng 1 không nằm trong danh sách n/d (muốn n/d = 1 phải d = n > m, mà d chỉ chạy qua ước của m). Vậy σ(n) lớn hơn n·σ(m)/m ít nhất 1. Ước “đứng ngoài” này là mấu chốt của mọi lập luận loại trừ ở phần sau.
Lab 3 · Leo thang bội · σ(km)/(km) theo k
Chọn m. Các điểm là chỉ số dồi dào của km với k = 1, 2, …, 40. Đường nằm ngang xanh lơ là chặn dưới σ(m)/m; vạch trắng là mốc 2. Mọi điểm đều không thấp hơn chặn dưới.
Điểm xanh lá: không vượt mốc 2. Điểm hồng: vượt mốc 2 (dồi dào). Điểm vàng: đúng bằng 2.
σ(m)/m
nhỏ nhất khi k ≥ 2
bội dồi dào (k ≤ 40)
bội hoàn hảo (k ≤ 40)
4 Ước chắc chắn: chỉ cần biết n chia hết cho m
Bây giờ ghép hai ý trước. Giả sử đề chỉ cho ta biết một điều rất nhẹ về n, chẳng hạn “n chia hết cho 6”. Ta chưa biết n là số nào, nhưng ta chắc chắn n có các ước n, n/2, n/3, n/6 và còn ước 1 đứng ngoài. Cộng chúng lại:
σ(n) ≥ n + n/2 + n/3 + n/6 = 2n , và với n > 6 còn cộng thêm ít nhất ước 1, nên σ(n) > 2n
Kết luận: mọi bội thực sự của 6 là số dồi dào , vì vậy số hoàn hảo chia hết cho 6 chỉ có thể là chính 6. Chưa hề phải liệt kê n. Chỉ một điều kiện chia hết đã loại cả một họ vô hạn số.
Tổng quát, nếu biết m | n thì ta biết σ(n)/n ≥ σ(m)/m. Có ba tình huống. Nếu σ(m)/m > 2 thì mọi bội của m (kể cả m) đều dồi dào, loại hết. Nếu σ(m)/m = 2 (m hoàn hảo) thì mọi bội thực sự của m dồi dào, chỉ còn m. Nếu σ(m)/m < 2 thì chặn dưới chưa đủ để loại, ta chỉ biết σ(n)/n lớn hơn một số nhỏ hơn 2.
Lab 4 · Ước chắc chắn · từ “m | n” đến chặn dưới
Chọn m (điều kiện “m chia hết n”). Các đoạn 1/d với d | m xếp nối nhau cho chặn dưới σ(m)/m của chỉ số dồi dào. Máy kiểm bằng cách duyệt các bội của m đến 5000.
giả thiết: n chia hết cho m
Các đoạn 1/d (d là ước của m) xếp nối nhau; vạch trắng ở 2. Đoạn 1/1 = 1 ứng với ước n.
σ(m)/m = chặn dưới
bội của m ≤ 5000
dồi dào
hoàn hảo
5 Sàng loại: bộ lọc sinh ra từ các số chặn
Gọi một số m là số sinh nếu σ(m)/m ≥ 2 nhưng mọi ước thực sự của m đều thiếu. Ví dụ 6 và 28 (hoàn hảo), 20, 70, 88 (dồi dào). Số sinh là cái “nhỏ nhất” có chỉ số từ 2 trở lên. Mọi số dồi dào hoặc là một số sinh, hoặc là bội thực sự của một số sinh: lấy m là ước nhỏ nhất của n có chỉ số ≥ 2, khi đó mọi ước thực sự của m có chỉ số < 2 nên m là số sinh.
Vì vậy bộ lọc “loại hết bội thực sự của số sinh” cùng với “loại chính số sinh nếu nó dồi dào” để lại đúng các số thiếu và các số hoàn hảo . Từng bộ lọc nhỏ đã loại rất nhiều số; các số hoàn hảo không bao giờ bị loại, vì mỗi lần ta chỉ loại số dồi dào.
Lab 5 · Sàng loại · thêm từng bộ lọc
Chọn giới hạn N, rồi tăng số bộ lọc. Mỗi bộ lọc ứng với một số sinh theo thứ tự tăng dần (6, 20, 28, 70, …). Ô tối (mỗi bộ lọc một sắc): bị loại. Ô xanh: còn lại. Ô vàng: số hoàn hảo, luôn còn.
giới hạn N = –
số bộ lọc dùng: – / –
bộ lọc đang dùng
đã loại
còn lại
số hoàn hảo bị loại nhầm
6 Săn phản ví dụ: những suy luận nghe thuận tai
Các công cụ trên rất mạnh, nên rất dễ bị mở rộng quá đà. Sáu mệnh đề dưới đây đều nghe có lý. Một số đúng, một số sai. Hãy chọn từng mệnh đề, dự đoán, rồi để máy duyệt các số đến 5000 và tìm phản ví dụ nhỏ nhất.
Lab 6 · Săn phản ví dụ · máy duyệt đến 5000
mệnh đề
mệnh đề đang xét
Chọn một mệnh đề rồi bấm “Tìm phản ví dụ”.
7 Euclid và Euler: cấu trúc của số hoàn hảo chẵn
Với n = 2^(p−1)·q, trong đó q = 2^p − 1 lẻ, ta có σ(2^(p−1)) = 1 + 2 + … + 2^(p−1) = 2^p − 1 = q. Vì q lẻ nên nguyên tố cùng nhau với 2^(p−1), do đó σ(n) = q·σ(q). Chia cho n: σ(n)/n = σ(q) / 2^(p−1) . Số n hoàn hảo khi và chỉ khi σ(q) = 2^p = q + 1, tức là q chỉ có hai ước , hay q là số nguyên tố.
Nếu q hợp số thì σ(q) ≥ q + 1 + (một ước thực sự lớn hơn 1) > q + 1, nên σ(n)/n > 2: n dồi dào, không phải hoàn hảo. Đây là phần dễ của định lí Euclid–Euler. Phần khó (Euler) nói rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều có dạng này. Còn số hoàn hảo lẻ thì sao? Cho đến nay người ta chưa tìm thấy số nào và cũng chưa chứng minh được là không tồn tại; đó là một bài toán mở.
Lab 7 · Euclid–Euler · quét p
Kéo p. Máy tính q = 2^p − 1, kiểm tra q nguyên tố, rồi tính σ(n)/n = σ(q)/2^(p−1). Biểu đồ vẽ chỉ số dồi dào của n = 2^(p−1)(2^p − 1) với p = 2, 3, …, 19; chỉ khi q nguyên tố thì điểm chạm đúng mốc 2.
p = –
Điểm vàng: q nguyên tố, chỉ số đúng bằng 2. Điểm hồng: q hợp số, chỉ số lớn hơn 2. Vòng sáng: p bạn chọn.
q = 2^p − 1
n = 2^(p−1)·q
σ(q)
σ(n)/n
8 Atlas hiểu lầm · tám ngộ nhận và lời phản biện
Bấm vào từng thẻ để mở.
1 · “Nhiều ước thì chắc chắn dồi dào”
Số lượng ước và tổng ước là hai chuyện khác nhau. 64 có 7 ước nhưng σ(64) = 127 < 128, còn thiếu 1 so với hoàn hảo. Điều quyết định là các ước nhỏ (1/d lớn), không phải số ước.
2 · “Ước của số dồi dào cũng dồi dào”
Sai: 12 dồi dào (σ = 28 > 24) nhưng ước 2 và 4 đều thiếu. Tính đơn điệu chỉ chạy theo một chiều: đi lên bội thì chỉ số không giảm ; đi xuống ước thì chỉ số không tăng.
3 · “Bội của số thiếu cũng thiếu”
Sai: 2 là số thiếu (σ = 3 < 4) nhưng 12 = 6·2 dồi dào. Chiều đúng là “ước của số thiếu thì thiếu”: số thiếu bị chặn từ trên, nhưng bội của nó có thể vượt mốc 2.
4 · “Tổng các ước thực sự của số hoàn hảo bằng 2n”
Nhầm giữa σ(n) và tổng ước thực sự. σ(n) tính cả n nên σ(n) = 2n; tổng ước thực sự σ(n) − n bằng đúng n. Ví dụ 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, còn σ(28) = 56.
5 · “Người ta đã chứng minh không có số hoàn hảo lẻ”
Chưa. Đây vẫn là bài toán mở: chưa có ví dụ, cũng chưa có chứng minh phản chứng. Điều đã biết là các điều kiện cần (chẳng hạn một số lẻ như vậy cần ít nhất ba ước nguyên tố khác nhau, như chỉ số dồi dào cho thấy). Đừng viết “số hoàn hảo là số chẵn” như một định lí.
6 · “Mọi số chẵn hoàn hảo chia hết cho 6”
Sai: 28 chia 6 dư 4. Phần đúng là: bội thực sự của 6 luôn dồi dào, nên số hoàn hảo chia hết cho 6 chỉ có thể là 6. Các số hoàn hảo chẵn khác đều đồng dư 4 theo mô-đun 6.
7 · “Mọi số 2^(p−1)(2^p − 1) đều hoàn hảo”
Sai khi 2^p − 1 là hợp số. Với p = 11, q = 2047 = 23·89 và σ(n)/n = 2160/1024 > 2: n dồi dào. Điều kiện cần và đủ là q nguyên tố.
8 · “Lũy thừa của 2 gần như hoàn hảo nên coi là hoàn hảo”
σ(2^k) = 2^(k+1) − 1 luôn thiếu đúng 1 so với 2·2^k. “Gần” không phải “bằng”; điều kiện σ(n) = 2n là một đẳng thức, không phải một xấp xỉ.
9 Kiểm tra khái niệm
Sáu câu trắc nghiệm và hai nhóm đúng–sai. Mỗi đáp án đều có giải thích ngắn.
Điểm của bạn: 0 / 0
Làm hết các câu để thấy tổng kết.
★ Tổng kết · bảy điều phải nhớ
1. Ước đi cặp (d ↔ n/d) nên σ(n)/n = Σ 1/d. Số hoàn hảo là số có tổng nghịch đảo các ước bằng 2; tổng ước thực sự bằng n.
2. σ nhân tính: σ(n)/n là tích của các hệ số 1 + 1/p + … + 1/p^k, mỗi hệ số nhỏ hơn p/(p − 1). Trần Π p/(p − 1) chỉ phụ thuộc tập nguyên tố; lũy thừa nguyên tố luôn thiếu; số lẻ cần ít nhất ba nguyên tố để vượt 2.
3. Nếu m | n thì σ(n)/n ≥ σ(m)/m, ngặt khi n > m vì ước 1 đứng ngoài danh sách n/d. Lên bội thì chỉ số không giảm, xuống ước thì không tăng.
4. Chỉ cần biết “n chia hết cho 6” là đủ: σ(n) ≥ n + n/2 + n/3 + n/6 = 2n, và ngặt nếu n > 6. Bội thực sự của số hoàn hảo hoặc của số có chỉ số > 2 là dồi dào.
5. Số sinh (chỉ số ≥ 2, mọi ước thực sự thiếu) sinh ra mọi số dồi dào: bội thực sự của số sinh, hoặc chính số sinh. Sàng bằng các số sinh để lại đúng số thiếu và số hoàn hảo.
6. Với n = 2^(p−1)(2^p − 1): σ(n)/n = σ(q)/2^(p−1). Hoàn hảo khi q nguyên tố; nếu q hợp số thì n dồi dào. Euler: mọi số hoàn hảo chẵn có dạng này.
7. Số hoàn hảo lẻ là bài toán mở. Thói quen cần mang theo: liệt kê vài ước chắc chắn, cộng thành chặn dưới, so với 2, rồi luôn thử phản ví dụ trước khi mở rộng một mệnh đề.
LUKATO · Toán 9 · Học sinh giỏi · Tổng ước số bằng 2n. Bài giảng khái niệm tự biên soạn; mọi con số trong các thí nghiệm do chương trình tính trực tiếp từ định nghĩa và đã đối chiếu độc lập (kể cả duyệt toàn bộ số đến 200000). Không dùng tài nguyên bên ngoài.