Hàm số y = ax² (a ≠ 0) và đồ thị parabol: tính chất, cách vẽ, tương giao với đường thẳng
Chuyên đề hàm số y = ax² lớp 9: tính đồng biến – nghịch biến, cách vẽ parabol, tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng, bài toán tìm m theo Δ và…
Hàm số y = ax² (a ≠ 0) và bài toán tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d) gần như năm nào cũng xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 môn Toán. Chuyên đề này tóm tắt lý thuyết, các dạng bài và ví dụ có lời giải.
1. Tính chất của hàm số y = ax²
| Trường hợp | x < 0 | x > 0 | Giá trị đặc biệt |
|---|---|---|---|
| a > 0 | nghịch biến | đồng biến | y ≥ 0; giá trị nhỏ nhất y = 0 khi x = 0 |
| a < 0 | đồng biến | nghịch biến | y ≤ 0; giá trị lớn nhất y = 0 khi x = 0 |
- Tập xác định: mọi x ∈ ℝ.
- Hai giá trị đối nhau của x cho cùng một giá trị y (vì (−x)² = x²).
2. Đồ thị parabol
Đồ thị hàm số y = ax² là một parabol đỉnh O(0; 0), nhận trục Oy làm trục đối xứng.
- a > 0: parabol nằm phía trên trục hoành, bề lõm hướng lên, O là điểm thấp nhất.
- a < 0: parabol nằm phía dưới trục hoành, bề lõm hướng xuống, O là điểm cao nhất.
- |a| càng lớn, parabol càng “hẹp” (khép sát trục Oy).
Cách vẽ (ví dụ y = ½x²)
Lập bảng giá trị với 5 điểm đối xứng:
| x | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = ½x² | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
Biểu diễn các điểm lên mặt phẳng tọa độ rồi nối thành đường cong trơn, đối xứng qua Oy. Lưu ý: chọn giá trị x sao cho y là số đẹp để vẽ chính xác.
3. Dạng bài thường gặp
Dạng 1: Tìm a khi biết parabol đi qua một điểm
Parabol y = ax² đi qua A(2; −8) ⇒ −8 = a·2² ⇒ a = −2.
Dạng 2: Kiểm tra điểm thuộc đồ thị
Điểm M(x₀; y₀) thuộc (P) ⇔ y₀ = a·x₀². Ví dụ với (P): y = x², điểm (−3; 9) thuộc (P) vì 9 = (−3)²; điểm (2; 5) không thuộc (P) vì 2² = 4 ≠ 5.
Dạng 3: Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Cho (P): y = x² và (d): y = x + 2.
Phương trình hoành độ giao điểm: x² = x + 2 ⇔ x² − x − 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = −1 hoặc x = 2.
- x = −1 ⇒ y = 1; x = 2 ⇒ y = 4.
- Vậy (P) cắt (d) tại (−1; 1) và (2; 4).
Dạng 4: Vị trí tương đối theo Δ
Với (P): y = ax² và (d): y = mx + n, phương trình hoành độ giao điểm là ax² − mx − n = 0. Gọi Δ là biệt thức của phương trình này:
| Δ | Vị trí của (d) và (P) |
|---|---|
| Δ > 0 | cắt nhau tại 2 điểm phân biệt |
| Δ = 0 | tiếp xúc (1 điểm chung) |
| Δ < 0 | không giao nhau |
Ví dụ: Tìm m để (d): y = 2x + m tiếp xúc với (P): y = x². x² − 2x − m = 0 có Δ' = 1 + m. Tiếp xúc ⇔ Δ' = 0 ⇔ m = −1; khi đó tiếp điểm có hoành độ x = 1, tức điểm (1; 1).
Dạng 5: Tìm m theo điều kiện của x₁, x₂ (kết hợp Vi-ét)
Cho (P): y = x² và (d): y = 2x − m + 3. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂ thỏa x₁² + x₂² = 10.
- Phương trình hoành độ: x² − 2x + m − 3 = 0.
- Hai điểm phân biệt ⇔ Δ' = 1 − (m − 3) = 4 − m > 0 ⇔ m < 4.
- Vi-ét: x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = m − 3.
- x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 4 − 2(m − 3) = 10 − 2m.
- 10 − 2m = 10 ⇔ m = 0 (thỏa m < 4). Vậy m = 0.
4. Lỗi hay gặp khi làm bài
- Quên điều kiện Δ > 0 (hoặc Δ' > 0) trước khi dùng Vi-ét → nhận nghiệm m sai.
- Vẽ parabol chỉ bằng 3 điểm hoặc không đối xứng qua Oy → bị trừ điểm hình vẽ.
- Nhầm hoành độ và tung độ khi kết luận tọa độ giao điểm: phải thay x vào (P) hoặc (d) để tìm y.
- Khi đề hỏi hai điểm “nằm về hai phía trục tung”, điều kiện là x₁x₂ < 0 (tức a·c < 0 của phương trình hoành độ).
5. Bài tập tự luyện
- Cho (P): y = −x². Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ bằng −9. (Đáp số: (3; −9), (−3; −9))
- Tìm m để (d): y = 4x + m không cắt (P): y = x². (Đáp số: m < −4)
- Cho (P): y = x² và (d): y = mx + 1. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung. (Gợi ý: x² − mx − 1 = 0 có a·c = −1 < 0)
Chuyên đề liên quan
- Công thức nghiệm phương trình bậc hai (Δ và Δ')
- Hệ thức Vi-ét và bài toán tìm m
- Hàm số bậc nhất lớp 9
- Thi vào lớp 10 Đà Nẵng · Thi vào lớp 10 Hà Nội