Hàm số y = ax^2, chinh phục Parabol
Bài giảng Hàm số y = ax^2, chinh phục Parabol trong thư viện THCS AI LUKATO.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 04
P.01 · Bìa
Câu 2 hình học giải tích
Hàm số y = a x 2 , chinh phục Parabol
Hàm số y = a x 2 ( a = 0 ) và đồ thị parabol đỉnh O — phối hợp trực tiếp với Định lí Vi-ét trong các bài toán tương giao parabol và đường thẳng. Từ tính chất đến quy trình vẽ đồ thị, 4 dạng tham số m , nắm trọn cốt lõi trong 10 phút.
Độ khó
Trung bình khá
Lớp
Lớp 9
Dung lượng
6 trang · 10 phút
Tần suất
★★★★☆
4 Mục tiêu học tập
01
Hiểu định nghĩa y = a x 2 và 4 tính chất cốt lõi của parabol đỉnh O .
02
Phân biệt 2 trường hợp a > 0 (mở lên) và a < 0 (mở xuống) — đồng biến và nghịch biến.
03
Vẽ đồ thị parabol theo quy trình 5 bước với bảng giá trị 5 điểm chuẩn.
04
Giải thành thạo bài toán tương giao parabol và đường thẳng — 4 dạng tham số m .
P.01
Bìa
Tổng quan · Mục tiêu
P.02
Tính chất
a > 0 vs a < 0
P.03
Vẽ đồ thị
5 bước · 5 điểm
P.04
Tương giao
P và đường thẳng
P.05
Tham số m
4 dạng ứng dụng
P.06
Tổng kết
Bí kíp + Báo trước
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 04
P.02 · Tính chất parabol
Bước 1 · Định nghĩa và 2 trường hợp
Hàm y = a x 2 , parabol đỉnh O
Hàm số y = a x 2 với a = 0 có tập xác định là R . Đồ thị là parabol nhận trục O y làm trục đối xứng và đi qua gốc O ( 0 ; 0 ) — đỉnh của parabol. Dấu của a quyết định hướng mở.
Trường hợp 1 · a > 0
Parabol mở lên — đỉnh O là điểm thấp nhất
y = a x 2 \ge 0 với mọi x ∈ R · min y = 0 tại x = 0
Đỉnh O ( 0 ; 0 ) là điểm thấp nhất của đồ thị.
Trục đối xứng là trục O y (đường thẳng x = 0 ).
Nghịch biến trên ( − \infty ; 0 ) — đi xuống khi x tăng đến 0.
Đồng biến trên ( 0 ; + \infty ) — đi lên khi x vượt qua 0.
Trường hợp 2 · a < 0
Parabol mở xuống — đỉnh O là điểm cao nhất
y = a x 2 \le 0 với mọi x ∈ R · max y = 0 tại x = 0
Đỉnh O ( 0 ; 0 ) là điểm cao nhất của đồ thị.
Trục đối xứng là trục O y (đường thẳng x = 0 ).
Đồng biến trên ( − \infty ; 0 ) — đi lên khi x tiến đến 0.
Nghịch biến trên ( 0 ; + \infty ) — đi xuống khi x vượt qua 0.
Khoảng · a > 0 (mở lên) · a < 0 (mở xuống) · Ghi nhớ
x ∈ ( − \infty ; 0 )
Nghịch biến (đi xuống)
Đồng biến (đi lên)
Hai trường hợp ngược chiều nhau
x ∈ ( 0 ; + \infty )
Đồng biến (đi lên)
Nghịch biến (đi xuống)
Đỉnh O là điểm chuyển hướng
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 04
P.03 · Vẽ đồ thị
Bước 2 · Quy trình 5 bước
Vẽ đồ thị parabol y = a x 2
Lập bảng giá trị tại 5 điểm chuẩn x = − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 và nối các điểm bằng đường cong trơn — đó là quy trình chuẩn. Hai ví dụ minh hoạ ở bên cạnh giúp ghi nhớ trực quan.
Bảng 5 điểm chuẩn · áp dụng cho mọi a
x · − 2 · − 1 · 0 · 1 · 2
y = a x 2 · 4 a · a · 0 · a · 4 a
Quy trình 5 bước
B1
Xác định a — nhận diện hệ số. a > 0 thì mở lên, a < 0 thì mở xuống.
B2
Lập bảng giá trị tại x = − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 — chú ý tính đối xứng f ( − x ) = f ( x ) .
B3
Vẽ trục toạ độ O x y , đánh dấu 5 điểm ( x ; y ) vừa tính lên mặt phẳng.
B4
Nối các điểm bằng đường cong trơn — không nối bằng đoạn thẳng. Đường cong đối xứng qua O y .
B5
Ghi tên đồ thị ( P ) : y = a x 2 và đánh dấu đỉnh O — hoàn tất.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 04
P.04 · Tương giao
Bước 3 · Tương giao parabol và đường thẳng
Phương trình hoành độ giao điểm
Cho parabol ( P ) : y = a x 2 và đường thẳng ( d ) : y = m x + n . Phương trình hoành độ giao điểm: a x 2 = m x + n , tức a x 2 − m x − n = 0 . Biệt thức Δ của phương trình bậc hai này quyết định số điểm chung.
Trường hợp 1 · Δ > 0
( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt
x 1 , 2 = 2 a m \pm Δ
Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , tương ứng 2 điểm chung. Đây là trường hợp được khai thác nhiều nhất ở Câu 2.
Ví dụ · ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x + 3 giao tại 2 điểm có hoành độ x = − 1 và x = 3 .
Trường hợp 2 · Δ = 0
( d ) tiếp xúc ( P ) tại đúng 1 điểm
x 1 = x 2 = 2 a m
Phương trình có nghiệm kép, tương ứng đường thẳng tiếp xúc với parabol. Tiếp điểm có hoành độ duy nhất, tung độ tính từ ( d ) hoặc ( P ) .
Ví dụ · ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x − 1 tiếp xúc nhau tại điểm ( 1 ; 1 ) .
Trường hợp 3 · Δ < 0
( d ) không cắt ( P ) — không có điểm chung
Phương trình vô nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm thực, do đó đường thẳng và parabol không có điểm chung trên mặt phẳng toạ độ.
Ví dụ · ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = − 1 không có điểm chung vì x 2 = − 1 vô nghiệm.
Bài mẫu · Áp dụng Vi-ét cho hoành độ giao điểm
Dạng: Biến thể Câu 2 · điển hình
Cho ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x + 3 . Tìm toạ độ các giao điểm của ( P ) và ( d ) , sau đó tính tổng các tung độ.
B1 · Lập PT
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 = 2 x + 3 , tức x 2 − 2 x − 3 = 0 .
B2 · Kiểm tra Δ
Δ ′ = 1 + 3 = 4 > 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt — ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm.
B3 · Giải PT
x 1 = − 1 và x 2 = 3 . Hoặc dùng Vi-ét: S = 2 , P = − 3 .
B4 · Tính tung độ
Thay vào ( P ) : y 1 = 1 và y 2 = 9 . Hai giao điểm là A ( − 1 ; 1 ) và B ( 3 ; 9 ) .
B5 · Tổng tung độ
y 1 + y 2 = 1 + 9 = 10 . Vậy tổng các tung độ giao điểm là 10 .
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 04
P.05 · Tham số m
Bước 4 · Câu 2 quen thuộc
4 Dạng tham số m với parabol
Cho ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x + m (hoặc biến thể). 4 dạng chuẩn : cắt 2 điểm, tiếp xúc, biểu thức theo hoành độ, tích/tổng toạ độ — kết hợp trực tiếp với Vi-ét của Chủ đề 02.
Dạng A · Cắt 2 điểm phân biệt
Tìm m để ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt
Cho ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x + m . Tìm m để ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt.
B1
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 = 2 x + m , tức x 2 − 2 x − m = 0 .
B2
Yêu cầu duy nhất: Δ ′ > 0 . Tính Δ ′ = 1 + m .
B3
Giải 1 + m > 0 , suy ra m > − 1 .
Đáp án · m > − 1 .
Dạng B · ( d ) tiếp xúc ( P )
Tìm m để ( d ) tiếp xúc với parabol ( P )
Cho ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x + m . Tìm m để ( d ) tiếp xúc với ( P ) .
B1
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 2 x − m = 0 .
B2
Tiếp xúc đồng nghĩa nghiệm kép: Δ ′ = 0 . Tính Δ ′ = 1 + m = 0 .
B3
Suy ra m = − 1 . Tiếp điểm có hoành độ x = 1 , tung độ y = 1 , tức ( 1 ; 1 ) .
Đáp án · m = − 1 , tiếp điểm ( 1 ; 1 ) .
Dạng C · Biểu thức theo hoành độ
Tìm m để x 1 2 + x 2 2 = giá trị cho trước
Cho ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x + m . Tìm m để ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm có hoành độ x 1 , x 2 thoả mãn x 1 2 + x 2 2 = 8 .
B1
Điều kiện cắt 2 điểm: Δ ′ = 1 + m > 0 , tức m > − 1 .
B2
Vi-ét cho x 2 − 2 x − m = 0 : S = x 1 + x 2 = 2 , P = x 1 x 2 = − m .
B3
x 1 2 + x 2 2 = S 2 − 2 P = 4 + 2 m = 8 , suy ra m = 2 . Đối chiếu m > − 1 : thoả mãn.
Đáp án · m = 2 .
Dạng D · Hai giao điểm trái dấu
Tìm m để ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm hoành độ trái dấu
Cho ( P ) : y = x 2 và ( d ) : y = 2 x + m . Tìm m để ( d ) cắt ( P ) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.
B1
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 2 x − m = 0 .
B2
Hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P = x 1 x 2 < 0 (tự kéo theo Δ > 0 ).
B3
Áp dụng Vi-ét: P = − m < 0 , suy ra m > 0 .
Đáp án · m > 0 .
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 04
P.06 · Tổng kết
Bước 5 · Tổng kết
Bí kíp thực chiến + Chủ đề tiếp
Cô đọng những điểm cốt lõi cần nhớ trong vòng 1 phút trước khi vào phòng thi. Quy trình 5 bước tương giao, Top 3 lỗi sai phổ biến và báo trước Chủ đề 03.
Quy trình 5 bước · Tương giao ( P ) và ( d )
Bước · Cốt lõi cần nhớ
B1 · Lập PT · Lập phương trình hoành độ giao điểm a x 2 = m x + n
B2 · Tính Δ · Tính Δ (hoặc Δ ′ ) — số nghiệm = số giao điểm
B3 · Vi-ét · Viết S và P theo tham số nếu đề liên quan đến x 1 , x 2
B4 · Biểu diễn · Chuyển yêu cầu của đề về biểu thức theo S , P hoặc giải trực tiếp
B5 · Đối chiếu · Kiểm tra điều kiện Δ ban đầu, loại nghiệm tham số không thoả
Top 3 Lỗi sai phổ biến
01
Nối các điểm bằng đoạn thẳng khi vẽ parabol — Parabol là đường cong trơn , không phải đường gấp khúc. Lỗi thường gặp khi vẽ đồ thị nhanh.
02
Quên kiểm tra Δ trước khi áp dụng Vi-ét — Khi đề yêu cầu "cắt 2 điểm phân biệt", phải kiểm tra Δ > 0 trước. Áp dụng Vi-ét trực tiếp mà bỏ qua điều kiện là mất điểm.
03
Nhầm dấu khi lập phương trình hoành độ giao điểm — Đặc biệt khi chuyển vế: a x 2 = m x + n thành a x 2 − m x − n = 0 (dấu của n phải đổi).
Báo trước Chủ đề tiếp
Chủ đề 03 · Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ a x + b y a ′ x + b ′ y = c = c ′ — phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, biện luận theo tham số m . Bộ ba "phương trình bậc hai · parabol · hệ phương trình" hoàn tất nền đại số lớp 9.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Chủ đề 04. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Chủ đề 04