Hệ phương trình bậc nhất, chinh phục 2 phương pháp
Bài giảng Hệ phương trình bậc nhất, chinh phục 2 phương pháp trong thư viện THCS AI LUKATO.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 03
P.01 · Bìa
Câu giải bài toán
Hệ phương trình bậc nhất, chinh phục 2 phương pháp
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn { a x + b y = c a ′ x + b ′ y = c ′ — nền tảng của bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình. Hai phương pháp chuẩn ( thế và cộng đại số ), 4 dạng bài toán thực tế và biện luận tham số m , nắm trọn cốt lõi trong 10 phút.
Độ khó
Trung bình
Lớp
Lớp 9
Dung lượng
6 trang · 10 phút
Tần suất
★★★★☆
4 Mục tiêu học tập
01
Hiểu định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và 3 trường hợp nghiệm.
02
Thành thạo phương pháp thế — quy trình 4 bước và mẹo chọn ẩn để thế.
03
Thành thạo phương pháp cộng đại số — kỹ thuật khử ẩn bằng nhân hệ số.
04
Giải 4 dạng bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình — Câu 3.
P.01
Bìa
Tổng quan · Mục tiêu
P.02
Định nghĩa
3 trường hợp nghiệm
P.03
PP thế
Quy trình 4 bước
P.04
PP cộng
Kỹ thuật khử ẩn
P.05
Bài toán
4 dạng thực tế
P.06
Tổng kết
Bí kíp + Báo trước
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 03
P.02 · Định nghĩa và 3 trường hợp
Bước 1 · Định nghĩa và phân loại nghiệm
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm 2 phương trình bậc nhất với 2 ẩn x , y . Mỗi phương trình tương ứng một đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ — số nghiệm của hệ chính là số giao điểm của hai đường thẳng này.
Định nghĩa chuẩn
{ a x + b y = c a ′ x + b ′ y = c ′
Trong đó a , b , c , a ′ , b ′ , c ′ là các số đã cho, với a và b không đồng thời bằng 0 , a ′ và b ′ không đồng thời bằng 0 . Cặp số ( x 0 ; y 0 ) là nghiệm của hệ khi và chỉ khi đồng thời thoả mãn cả hai phương trình. Hình học: mỗi phương trình là một đường thẳng — nghiệm của hệ là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đó.
Trường hợp 1 · Cắt nhau
Hệ có nghiệm duy nhất
a ′ a = b ′ b
Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Đây là trường hợp được khai thác nhiều nhất ở Câu 3. Hệ số góc của hai đường thẳng khác nhau.
Ví dụ · Hệ { 2 x + y = 5 x − y = 1 có 1 2 = − 1 1 , nghiệm duy nhất ( 2 ; 1 ) .
Trường hợp 2 · Song song
Hệ vô nghiệm
a ′ a = b ′ b = c ′ c
Hai đường thẳng song song — cùng hệ số góc nhưng khác tung độ giao điểm với trục O y . Không có điểm chung trên mặt phẳng toạ độ, do đó hệ vô nghiệm.
Ví dụ · Hệ { 2 x + y = 5 4 x + 2 y = 7 có 4 2 = 2 1 = 7 5 , hệ vô nghiệm.
Trường hợp 3 · Trùng nhau
Hệ có vô số nghiệm
a ′ a = b ′ b = c ′ c
Hai đường thẳng trùng nhau — mọi điểm trên đường thẳng đều là nghiệm chung. Hệ có vô số nghiệm. Một phương trình thực chất là bội của phương trình kia.
Ví dụ · Hệ { 2 x + y = 5 4 x + 2 y = 10 có 4 2 = 2 1 = 10 5 , vô số nghiệm.
Lưu ý điều kiện
Các tỉ số a ′ a , b ′ b , c ′ c chỉ áp dụng được khi a ′ , b ′ , c ′ đều khác 0. Nếu có hệ số bằng 0, phải xét trực tiếp bằng cách giải hệ hoặc so sánh hai phương trình. Đây là cái bẫy thường gặp ở câu hỏi biện luận tham số m .
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 03
P.03 · Phương pháp thế
Bước 2 · Phương pháp thế
Quy trình 4 bước phương pháp thế
Phương pháp thế là kỹ thuật biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại từ một phương trình, rồi thế vào phương trình kia để đưa về phương trình một ẩn. Phù hợp khi ít nhất một hệ số bằng 1 hoặc − 1 .
Phương pháp 1 · Thế
Quy trình 4 bước chuẩn — áp dụng cho mọi hệ
B1
Chọn ẩn để biểu diễn — Từ một trong hai phương trình, rút một ẩn (thường chọn ẩn có hệ số 1 hoặc − 1 để tránh phân số) theo ẩn kia.
B2
Thế vào phương trình còn lại — Thay biểu thức vừa tìm được vào phương trình kia, ta được một phương trình một ẩn.
B3
Giải phương trình một ẩn — Giải để tìm giá trị của ẩn đó.
B4
Tìm ẩn còn lại và kết luận — Thay giá trị vừa tìm được vào biểu thức ở B1 để tìm ẩn kia. Kết luận nghiệm ( x ; y ) của hệ.
Ví dụ minh hoạ
Giải hệ { x + 2 y = 7 ( 1 ) 3 x − y = 7 ( 2 ) bằng phương pháp thế.
B1 · Từ ( 1 ) : x = 7 − 2 y .
B2 · Thế vào ( 2 ) : 3 ( 7 − 2 y ) − y = 7 , tức 21 − 6 y − y = 7 , suy ra − 7 y = − 14 .
B3 · Giải: y = 2 .
B4 · Thay y = 2 vào biểu thức B1: x = 7 − 2 ⋅ 2 = 3 .
Đáp án · Hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) = ( 3 ; 2 ) .
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 03
P.04 · Phương pháp cộng đại số
Bước 3 · Phương pháp cộng đại số
Khử ẩn bằng nhân hệ số
Phương pháp cộng đại số là kỹ thuật nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp để hệ số của một ẩn trở nên bằng nhau (hoặc đối nhau), rồi cộng (hoặc trừ) hai phương trình để khử ẩn đó. Phù hợp khi không có hệ số 1 hoặc − 1 .
Phương pháp 2 · Cộng đại số
Quy trình 4 bước chuẩn — kỹ thuật khử ẩn linh hoạt
B1
Chọn ẩn cần khử — Quan sát hệ số của x hoặc y ở hai phương trình, chọn ẩn dễ khử hơn (BCNN nhỏ hơn).
B2
Nhân hệ số thích hợp — Nhân hai vế mỗi phương trình với số thích hợp để hệ số ẩn cần khử bằng nhau hoặc đối nhau.
B3
Cộng hoặc trừ — Cộng (nếu hệ số đối nhau) hoặc trừ (nếu hệ số bằng nhau) hai phương trình, được phương trình một ẩn.
B4
Giải và kết luận — Giải phương trình một ẩn, thay vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.
Ví dụ minh hoạ
Giải hệ { 3 x + 2 y = 8 ( 1 ) 2 x − 3 y = − 1 ( 2 ) bằng phương pháp cộng đại số.
B1 · Chọn khử ẩn x . BCNN của 3 và 2 là 6 .
B2 · Nhân ( 1 ) với 2 và ( 2 ) với 3 : { 6 x + 4 y = 16 6 x − 9 y = − 3
B3 · Trừ vế theo vế (vì hệ số x bằng nhau): 13 y = 19 , suy ra y = 13 19 .
B4 · Thay vào ( 1 ) : 3 x = 8 − 2 ⋅ 13 19 = 13 66 , suy ra x = 13 22 .
Đáp án · Hệ có nghiệm duy nhất ( x ; y ) = ( 13 22 ; 13 19 ) .
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 03
P.05 · Bài toán thực tế
Bước 4 · Câu 3 quen thuộc — bài toán bằng cách lập hệ
4 Dạng bài toán thực tế
Câu 3 thường yêu cầu giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. 4 dạng chuẩn : chuyển động, năng suất công việc, tỉ lệ phần trăm, hình học — quy trình 3 bước (đặt ẩn — lập hệ — giải).
Dạng A · Bài toán chuyển động
Hai phương tiện di chuyển ngược chiều / cùng chiều
Hai xe khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 200 km, đi ngược chiều, gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc xe đi từ A lớn hơn vận tốc xe đi từ B là 20 km/h. Tìm vận tốc mỗi xe.
B1
Đặt vận tốc xe từ A là x (km/h), từ B là y (km/h). Điều kiện x , y > 0 .
B2
Lập hệ: { x − y = 20 2 x + 2 y = 200 tức { x − y = 20 x + y = 100
B3
Cộng hai phương trình: 2 x = 120 , suy ra x = 60 , y = 40 . Đối chiếu điều kiện: thoả mãn.
Đáp án · Vận tốc xe từ A là 60 km/h, từ B là 40 km/h.
Dạng B · Bài toán năng suất công việc
Hai đối tượng làm chung — làm riêng
Hai vòi nước cùng chảy vào bể đầy trong 4 giờ. Nếu chảy riêng, vòi 1 mất ít hơn vòi 2 là 6 giờ để đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng đầy bể trong bao lâu?
B1
Đặt thời gian vòi 1 chảy riêng là x giờ, vòi 2 là y giờ. Điều kiện x , y > 4 .
B2
Năng suất 1 giờ: vòi 1 là x 1 , vòi 2 là y 1 . Hệ: ⎩ ⎨ ⎧ y − x = 6 x 1 + y 1 = 4 1
B3
Thay y = x + 6 vào phương trình thứ hai, giải được x = 6 , y = 12 . Đối chiếu điều kiện: thoả mãn.
Đáp án · Vòi 1 đầy bể sau 6 giờ, vòi 2 sau 12 giờ.
Dạng C · Bài toán tỉ lệ phần trăm
Tăng giảm phần trăm — sản xuất, học sinh
Hai lớp 9 A và 9 B có tổng số 80 học sinh. Sau khi 9 A chuyển 5 học sinh sang 9 B thì hai lớp có số học sinh bằng nhau. Tìm số học sinh ban đầu của mỗi lớp.
B1
Đặt số học sinh ban đầu của 9 A là x , của 9 B là y . Điều kiện x , y > 5 và nguyên dương.
B2
Lập hệ: { x + y = 80 x − 5 = y + 5 tức { x + y = 80 x − y = 10
B3
Cộng hai phương trình: 2 x = 90 , suy ra x = 45 , y = 35 . Đối chiếu: thoả mãn.
Đáp án · Lớp 9 A ban đầu có 45 học sinh, lớp 9 B có 35 học sinh.
Dạng D · Bài toán hình học
Chu vi — diện tích hình chữ nhật
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu tăng chiều dài thêm 5 m và giảm chiều rộng đi 2 m thì diện tích tăng 30 m 2 . Tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu.
B1
Đặt chiều dài là x m, chiều rộng là y m. Điều kiện x > y > 2 .
B2
Lập hệ: { 2 ( x + y ) = 80 ( x + 5 ) ( y − 2 ) − x y = 30 tức { x + y = 40 − 2 x + 5 y = 40
B3
Giải hệ: x = 7 160 , y = 7 120 . Vì không nguyên, đề bài thường điều chỉnh số liệu — đây là minh hoạ phương pháp.
Đáp án minh hoạ · Chiều dài 7 160 m, chiều rộng 7 120 m. Trong thực tế, số liệu sẽ ra số nguyên đẹp.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 03
P.06 · Tổng kết
Bước 5 · Tổng kết
Bí kíp thực chiến + Chủ đề tiếp
Cô đọng những điểm cốt lõi cần nhớ trong vòng 1 phút trước khi vào phòng thi. Quy trình 3 bước giải bài toán thực tế, Top 3 lỗi sai phổ biến và báo trước Chủ đề 05.
Quy trình 3 bước · Bài toán bằng cách lập hệ
Bước · Cốt lõi cần nhớ
B1 · Đặt ẩn · Đặt 2 ẩn x , y rõ ràng, ghi đơn vị và điều kiện x , y > 0 (hoặc khác)
B2 · Lập hệ · Dịch các điều kiện đề bài thành 2 phương trình theo x , y
B3 · Giải · Chọn phương pháp thế hoặc cộng đại số phù hợp với hệ số
B4 · Đối chiếu · Kiểm tra nghiệm có thoả mãn điều kiện ban đầu hay không
B5 · Kết luận · Trả lời theo ngữ cảnh đề bài (ghi đơn vị, không ghi x = ... )
Top 3 Lỗi sai phổ biến
01
Quên ghi điều kiện và đơn vị khi đặt ẩn — Bài toán thực tế bắt buộc ghi điều kiện ( x , y > 0 , nguyên dương, ...) và đơn vị (km/h, giờ, m 2 ). Quên là mất 0 , 25 điểm.
02
Quên đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu — Sau khi giải hệ phải kiểm tra nghiệm có thoả mãn x , y > 0 hay điều kiện đề. Bỏ qua bước này là lỗi mất điểm số 1.
03
Trả lời chỉ ghi "x = ..., y = ..." — Câu trả lời cuối phải theo ngữ cảnh đề bài, ví dụ "Vận tốc xe từ A là 60 km/h", không phải " x = 60 ". Đây là lỗi trình bày.
Báo trước Chủ đề tiếp
Chủ đề 05 · Lập phương trình bậc hai giải bài toán
Bài toán thực tế đưa về phương trình bậc hai một ẩn — chuyển động có gia tốc, năng suất kết hợp, hình học có tích diện tích. Kết hợp Chủ đề 02 (Vi-ét) và Chủ đề 03 (lập hệ) để hoàn tất bộ kỹ năng đại số lớp 9 toàn diện.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Chủ đề 03. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Chủ đề 03
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.