Hệ thức lượng, chinh phục tam giác vuông
Bài giảng Hệ thức lượng, chinh phục tam giác vuông trong thư viện THCS AI LUKATO.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 06
P.01 · Bìa
Hình học cơ bản
Hệ thức lượng, chinh phục tam giác vuông
Tam giác vuông là nền tảng hình học lớp 9 . Định lí Pythagore mở rộng + 4 hệ thức lượng cốt lõi + 4 tỉ số lượng giác sin , cos , tan , cot — bộ ba kỹ năng để giải mọi bài toán đo đạc thực tế và chứng minh hình học. Đỉnh cao: bài toán đo chiều cao, khoảng cách, góc tà.
Độ khó
Trung bình
Lớp
Lớp 9
Dung lượng
6 trang · 10 phút
Tần suất
★★★★★
4 Mục tiêu học tập
01
Thuộc 4 hệ thức lượng cốt lõi của tam giác vuông với đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.
02
Định nghĩa và phân biệt 4 tỉ số lượng giác sin , cos , tan , cot của góc nhọn.
03
Thuộc bảng giá trị tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt: 30, 45, 60 độ.
04
Áp dụng vào bài toán đo chiều cao, khoảng cách, góc tà và đo gián tiếp.
P.01
Bìa
Tổng quan · Mục tiêu
P.02
4 Hệ thức
Đường cao tam giác
P.03
Tỉ số sin , cos
Góc nhọn
P.04
Bảng đặc biệt
30, 45, 60 độ
P.05
4 Dạng bài
Đo đạc thực tế
P.06
Tổng kết
Bí kíp + Báo trước
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 06
P.02 · 4 Hệ thức lượng
Bước 1 · Tam giác vuông + đường cao
4 Hệ thức lượng cốt lõi
Cho tam giác A BC vuông tại A , đường cao A H . Đặt BC = a (cạnh huyền), A C = b , A B = c (hai cạnh góc vuông), A H = h , B H = c ′ , C H = b ′ . Khi đó có 4 hệ thức lượng cốt lõi liên hệ giữa các cạnh và đường cao.
Hệ thức 1 · Cạnh góc vuông
Bình phương cạnh = cạnh huyền \times hình chiếu
b 2 = a ⋅ b ′ ; c 2 = a ⋅ c ′
Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh đó lên cạnh huyền.
Hệ thức 2 · Đường cao
Bình phương đường cao = tích hai hình chiếu
h 2 = b ′ ⋅ c ′
Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Hệ thức 3 · Tích hai cạnh
Tích hai cạnh góc vuông = cạnh huyền \times đường cao
b ⋅ c = a ⋅ h
Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đường cao tương ứng. Suy ra trực tiếp từ công thức diện tích tam giác.
Hệ thức 4 · Nghịch đảo bình phương
Nghịch đảo h 2 = tổng nghịch đảo b 2 và c 2
h 2 1 = b 2 1 + c 2 1
Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông. Dùng khi biết b , c tìm h .
Định lí Pythagore
Nền tảng của mọi hệ thức lượng: a 2 = b 2 + c 2 trong tam giác vuông tại A . Cộng thêm a = b ′ + c ′ (cạnh huyền bằng tổng hai hình chiếu), ta có 6 đẳng thức cơ bản kết hợp với 4 hệ thức trên — đủ để giải mọi bài toán tam giác vuông.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 06
P.03 · Tỉ số lượng giác
Bước 2 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sin , cos , tan , cot — 4 tỉ số
Trong tam giác vuông, với góc nhọn α , ta có cạnh đối (đối diện α ), cạnh kề (kề α , không phải cạnh huyền), cạnh huyền . Bốn tỉ số lượng giác là tỉ số của các cặp cạnh này.
Tỉ số 1 · Sin
sin α — đối trên huyền
sin α = đối huyền
Cách nhớ: Đối — Huyền . Với góc nhọn, 0 < sin α < 1 luôn đúng.
Tỉ số 2 · Cos
cos α — kề trên huyền
cos α = kề huyền
Cách nhớ: Kề — Huyền . Với góc nhọn, 0 < cos α < 1 luôn đúng.
Tỉ số 3 · Tan
tan α — đối trên kề
tan α = đối kề = cos α sin α
Cách nhớ: Đối — Kề . Khi α tăng từ 0 đến 90 độ, tan α tăng từ 0 đến vô cực.
Tỉ số 4 · Cot
cot α — kề trên đối
cot α = kề đối = sin α cos α
Cách nhớ: Kề — Đối . cot α = tan α 1 , là nghịch đảo của tang.
3 Tính chất quan trọng
① sin 2 α + cos 2 α = 1 (suy từ Pythagore). ② tan α ⋅ cot α = 1 . ③ Hai góc phụ nhau ( α + β = 90 độ) : sin α = cos β , tan α = cot β . Ba tính chất này xuất hiện rất nhiều ở bài toán biến đổi tỉ số lượng giác — bắt buộc thuộc.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 06
P.04 · Bảng góc đặc biệt
Bước 3 · Bảng giá trị bắt buộc thuộc
Tỉ số lượng giác — 30, 45, 60 độ
Bảng giá trị tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt 30, 45, 60 độ là kiến thức bắt buộc thuộc lòng. Mọi bài toán có góc đặc biệt đều áp dụng trực tiếp bảng này — không cần máy tính.
Tỉ số lượng giác
Góc 30 độ
Góc 45 độ
Góc 60 độ
sin α
2 1
2 2
2 3
cos α
2 3
2 2
2 1
tan α
3 3
3
cot α
3
3 3
Mẹo nhớ · Sin / Cos
Quy tắc bàn tay 5 ngón
Cách nhớ: Sin tăng, Cos giảm khi góc tăng từ 0 đến 90 độ.
sin : 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 tương ứng các góc 0 , 30 , 45 , 60 , 90 độ.
cos ngược lại: 2 4 , 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2 0 .
Mẹo nhớ · Tan / Cot
Quy tắc đối xứng qua góc 45 độ
Đặc điểm: tan và cot đối xứng qua α = 45 độ : tan 45 = cot 45 = 1 .
tan 30 = cot 60 = 3 3 · tan 60 = cot 30 = 3 .
Quan hệ: tan α ⋅ cot α = 1 với mọi α (góc nhọn).
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 06
P.05 · 4 Dạng đo đạc
Bước 4 · Bài toán đo đạc thực tế
4 Dạng chuẩn ứng dụng
Bài toán đo đạc thực tế là điểm nhấn của Chủ đề 06. 4 dạng chuẩn : chiều cao gián tiếp (cây, tòa nhà), khoảng cách (qua sông, vực), góc tà / góc nâng, độ dốc (mái nhà, đường).
Dạng A · Chiều cao gián tiếp
Đo chiều cao của tòa nhà / cây cao
Đứng cách chân tòa nhà 30 m, một người ngắm đỉnh tòa nhà với góc nâng 60 độ. Mắt người đó cách mặt đất 1 , 6 m. Tính chiều cao tòa nhà.
Lập
Gọi h là khoảng cách từ mắt đến đỉnh tòa nhà. tan 60 = 30 h .
Tính
h = 30 ⋅ tan 60 = 30 3 ≈ 51 , 96 m.
Cộng
Chiều cao tòa nhà = h + 1 , 6 ≈ 53 , 56 m.
Đáp án · Chiều cao tòa nhà ≈ 53 , 56 m.
Dạng B · Khoảng cách qua chướng ngại
Đo khoảng cách qua sông / vực
Để đo bề rộng của một con sông, người ta đứng tại A ngắm cây cột tại B phía bờ kia với góc ∠ B A C = 90 độ. Đi 40 m dọc bờ đến C , ngắm B với góc ∠ BC A = 30 độ. Tính bề rộng sông A B .
Hình
Tam giác A BC vuông tại A . A C = 40 m, góc C = 30 độ.
Lập
tan 30 = A C A B = 40 A B .
Tính
A B = 40 ⋅ tan 30 = 3 40 3 ≈ 23 , 09 m.
Đáp án · Bề rộng sông ≈ 23 , 09 m.
Dạng C · Góc tà — góc nâng
Tàu — máy bay — quan sát từ trên cao
Một máy bay đang ở độ cao 1500 m. Phi công nhìn xuống thấy hai mục tiêu ở hai phía với góc tà lần lượt 30 độ và 45 độ. Tính khoảng cách giữa hai mục tiêu (giả sử đều thẳng hàng dưới đường bay).
Mục tiêu 1
tan 30 = x 1 1500 , suy ra x 1 = 1500 3 ≈ 2598 m.
Mục tiêu 2
tan 45 = x 2 1500 , suy ra x 2 = 1500 m.
Tổng
Khoảng cách = x 1 + x 2 ≈ 2598 + 1500 = 4098 m.
Đáp án · Khoảng cách giữa hai mục tiêu ≈ 4098 m.
Dạng D · Độ dốc — đường ramp
Tính chiều dài đường dốc / ramp
Một đường dốc có độ nghiêng 30 độ so với mặt đất. Đỉnh đường dốc cao hơn mặt đất 5 m. Tính chiều dài của đường dốc.
Lập
Gọi L là chiều dài đường dốc (cạnh huyền). Chiều cao = 5 m là cạnh đối với góc 30 độ.
Áp dụng
sin 30 = L 5 , tức 2 1 = L 5 .
Giải
L = 5 ⋅ 2 = 10 m.
Đáp án · Chiều dài đường dốc là 10 m.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 06
P.06 · Tổng kết
Bước 5 · Tổng kết
Bí kíp thực chiến + Chủ đề tiếp
Cô đọng những điểm cốt lõi cần nhớ trong vòng 1 phút trước khi vào phòng thi. Tổng kết 4 hệ thức + 4 tỉ số + Top 3 lỗi sai và báo trước Chủ đề 07.
Tổng kết · 4 hệ thức + 4 tỉ số
Công thức · Cốt lõi cần nhớ
Hệ thức 1 · b 2 = a ⋅ b ′ · c 2 = a ⋅ c ′
Hệ thức 2 · h 2 = b ′ ⋅ c ′
Hệ thức 3 · b c = ah
Hệ thức 4 · h 2 1 = b 2 1 + c 2 1
sin / cos · Đối / huyền · Kề / huyền
tan / cot · Đối / kề · Kề / đối
Top 3 Lỗi sai phổ biến
01
Nhầm cạnh đối — cạnh kề — Khi nhìn từ góc α , cạnh đối là cạnh không tiếp xúc với α , cạnh kề là cạnh tiếp xúc nhưng không phải cạnh huyền . Nhầm dẫn đến công thức sai từ đầu.
02
Quên cộng chiều cao mắt khi đo gián tiếp — Bài toán đo chiều cao tòa nhà / cây phải cộng chiều cao mắt người đo vào kết quả. Quên là sai 1 - 1 , 6 m. Bài toán luôn cài đơn vị mắt.
03
Dùng sai tỉ số khi biết hai cạnh — Phải nhận diện rõ "biết cạnh đối + huyền dùng sin ", "biết cạnh kề + huyền dùng cos ", "biết hai cạnh góc vuông dùng tan hoặc cot ". Chọn tỉ số sai dẫn đến tính nhầm.
Báo trước Chủ đề tiếp
Chủ đề 07 · Góc với đường tròn
Góc nội tiếp + góc ở tâm + góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Định lí góc nội tiếp ( góc nội tiếp = 2 1 góc ở tâm ) — vũ khí then chốt giải bài toán hình học đường tròn. Đi cùng Chủ đề 08 (tứ giác nội tiếp) để hoàn tất hình học giải tích lớp 9.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Chủ đề 06. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Chủ đề 06