Lập phương trình bậc hai, chinh phục bài toán thực tế
Bài giảng Lập phương trình bậc hai, chinh phục bài toán thực tế trong thư viện THCS AI LUKATO.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 05
P.01 · Bìa
Câu 3 cấp cao
Lập phương trình bậc hai, chinh phục bài toán thực tế
Bài toán thực tế đưa về phương trình bậc hai một ẩn a x 2 + b x + c = 0 — đỉnh cao của đại số lớp 9. Kết hợp Định lí Vi-ét (Chủ đề 02) và kỹ thuật lập phương trình (Chủ đề 03) để chinh phục Câu 3 cấp cao. Quy trình 5 bước, bảng phân tích, 4 dạng chuẩn — nắm trọn cốt lõi trong 10 phút.
Độ khó
Khá đến giỏi
Lớp
Lớp 9
Dung lượng
6 trang · 10 phút
Tần suất
★★★★★
4 Mục tiêu học tập
01
Nắm vững quy trình 5 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai.
02
Sử dụng bảng phân tích 3 cột để dịch chính xác đề bài thành phương trình.
03
Phân biệt 4 dạng chuẩn: chuyển động, năng suất, hình học, số học.
04
Đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu — bước quyết định điểm số ở Câu 3.
P.01
Bìa
Tổng quan · Mục tiêu
P.02
5 Bước
Quy trình chuẩn
P.03
Bảng 3 cột
Phân tích đề bài
P.04
Bài mẫu
Năng suất + chuyển động
P.05
4 Dạng
Bài chuẩn
P.06
Tổng kết
Bí kíp + Báo trước
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 05
P.02 · Quy trình 5 bước
Bước 1 · Quy trình chuẩn — bất di bất dịch
5 bước giải bằng lập phương trình
Mọi bài toán thực tế đưa về phương trình bậc hai đều tuân theo quy trình 5 bước này . Bỏ qua một bước là bắt đầu mất điểm thành phần. Quy trình giúp giám khảo chấm dễ và em đạt điểm tối đa.
Bước 1
Đặt ẩn và điều kiện
Chọn đại lượng cần tìm làm ẩn x . Ghi rõ đơn vị và điều kiện ( x > 0 , nguyên dương, hay khoảng cụ thể).
Ví dụ · Gọi vận tốc dự định là x (km/h), điều kiện x > 0 .
Bước 2
Biểu diễn đại lượng còn lại
Dùng bảng phân tích 3 cột để biểu diễn các đại lượng phụ thuộc theo x . Đây là bước quan trọng nhất.
Ví dụ · Thời gian dự định = x S , thời gian thực tế = x + 10 S .
Bước 3
Lập phương trình
Dịch điều kiện đề bài (sớm hơn, nhiều hơn, bằng, ...) thành phương trình theo x . Quy đồng và sắp xếp về dạng a x 2 + b x + c = 0 .
Ví dụ · Nếu thực tế đến sớm hơn 1 giờ: x S − x + 10 S = 1 .
Bước 4
Giải phương trình
Tính Δ (hoặc Δ ′ ). Tìm các nghiệm x 1 , x 2 . Có thể dùng mẹo nhẩm a + b + c = 0 hoặc a − b + c = 0 để rút gọn.
Ví dụ · x 2 + 10 x − 600 = 0 , Δ ′ = 25 + 600 = 625 , x = 20 hoặc x = − 30 .
Bước 5
Đối chiếu và kết luận
Kiểm tra từng nghiệm với điều kiện ở B1. Loại nghiệm không thoả. Trả lời theo ngữ cảnh đề bài kèm đơn vị .
Ví dụ · x = − 30 loại (vi phạm x > 0 ). Vận tốc dự định là 20 km/h.
Bí kíp đối chiếu
Phương trình bậc hai cho 2 nghiệm — một trong hai thường bị loại do vi phạm điều kiện ( x < 0 , không nguyên, hoặc nằm ngoài khoảng đề bài). Đây chính là cái bẫy quan trọng nhất ở Câu 3. Kiểm tra cả hai nghiệm, loại có lý do, trả lời rõ ràng kèm đơn vị là 3 yếu tố quyết định điểm tối đa.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 05
P.03 · Bảng phân tích
Bước 2 · Vũ khí phân tích đề bài
Bảng 3 cột cho 3 dạng phổ biến
Bảng phân tích là vũ khí then chốt để dịch đề bài thành phương trình. 3 dạng phổ biến: chuyển động ( v ⋅ t = S ), năng suất (NS ⋅ t = công việc), số học (chữ số hàng chục, hàng đơn vị). Sử dụng bảng giúp tránh sai sót và rút ngắn 50% thời gian.
Dạng 1 · Chuyển động
v ⋅ t = S — vận tốc nhân thời gian bằng quãng đường
Đối tượng · v (km/h) · t (h)
Dự định · x · x S
Thực tế · x + a · x + a S
Quan hệ · x S − x + a S = b
Ẩn x thường là vận tốc dự định . Quan hệ thường là "đến sớm hơn" hoặc "đi chậm hơn". Quãng đường S là hằng số (không đổi).
Dạng 2 · Năng suất
NS ⋅ thời gian = công việc
Đối tượng · NS (1/h) · t (h)
Đối tượng 1 · x 1 · x
Đối tượng 2 · x + a 1 · x + a
Cùng làm · x 1 + x + a 1 · T giờ
Ẩn x thường là thời gian làm riêng của một đối tượng. Năng suất 1 giờ là phần công việc làm được. Quan hệ: x 1 + x + a 1 = T 1 .
Dạng 3 · Số học
Số có 2 chữ số: ab = 10 a + b
Số ban đầu · Hàng chục · Hàng đơn vị
ab = 10 a + b · a · b
Số đảo: ba = 10 b + a · b · a
Hiệu · ab − ba = 9 ( a − b )
Điều kiện: a , b là chữ số, 1 \le a \le 9 , 0 \le b \le 9 . Đặt một chữ số là x , dùng quan hệ tích / tổng / hiệu để lập phương trình bậc hai.
Mẹo lập phương trình
Đại lượng nào không đổi giữa "dự định" và "thực tế" thì lập đẳng thức theo đại lượng đó. Trong dạng chuyển động, quãng đường S thường không đổi. Trong dạng năng suất, tổng công việc thường không đổi (= 1 đơn vị). Tìm ra đại lượng cố định là chìa khóa lập phương trình đúng.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 05
P.04 · Bài mẫu 5 bước
Bước 3 · Áp dụng quy trình 5 bước hoàn chỉnh
Bài mẫu chuyển động
Bài toán mẫu thực hiện đầy đủ 5 bước với đáp án có 2 nghiệm — minh hoạ rõ ràng kỹ thuật đối chiếu và loại nghiệm . Đây là dạng kinh điển ở Câu 3.
Bài mẫu · Câu 3
Bài toán chuyển động với quan hệ "đến sớm hơn"
Đề bài
Một ô tô đi từ A đến B với quãng đường 300 km. Khi đi về (từ B đến A ), người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính vận tốc lúc đi từ A đến B .
B1
Đặt ẩn và điều kiện · Gọi vận tốc lúc đi từ A đến B là x (km/h), điều kiện x > 0 .
B2
Biểu diễn đại lượng · Vận tốc lúc về là x + 10 (km/h). Thời gian đi là x 300 giờ. Thời gian về là x + 10 300 giờ.
B3
Lập phương trình · "Thời gian về ít hơn thời gian đi là 1 giờ" cho ta: x 300 − x + 10 300 = 1 . Quy đồng: x ( x + 10 ) 300 ( x + 10 ) − 300 x = 1 , tức x ( x + 10 ) 3000 = 1 . Nhân chéo: x ( x + 10 ) = 3000 , dẫn đến x 2 + 10 x − 3000 = 0 .
B4
Giải phương trình · Δ ′ = 25 + 3000 = 3025 = 5 5 2 > 0 . Hai nghiệm: x 1 = 1 − 5 + 55 = 50 và x 2 = 1 − 5 − 55 = − 60 .
B5
Đối chiếu và kết luận · Nghiệm x 2 = − 60 vi phạm điều kiện x > 0 nên loại. Nghiệm x 1 = 50 thoả mãn.
Đáp án · Vận tốc lúc đi từ A đến B là 50 km/h.
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 05
P.05 · 4 Dạng chuẩn
Bước 4 · Câu 3 cấp cao
4 Dạng chuẩn — phương pháp nhận diện
Câu 3 cấp cao chia thành 4 dạng chuẩn : chuyển động (vận tốc thay đổi), năng suất (làm chung — làm riêng), hình học (kích thước thay đổi), số học (chữ số). Mỗi dạng có cách đặt ẩn và lập phương trình đặc trưng.
Dạng A · Chuyển động — vận tốc thay đổi
Nhận diện: "đi với vận tốc v , khi về tăng/giảm a km/h"
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi về, người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Ẩn
x = vận tốc đi (km/h), x > 0 .
PT
x 24 − x + 4 24 = 2 1 , dẫn đến x 2 + 4 x − 192 = 0 .
Giải
Δ ′ = 4 + 192 = 196 , x = 12 hoặc x = − 16 (loại).
Đáp án · Vận tốc lúc đi là 12 km/h.
Dạng B · Năng suất — làm chung làm riêng
Nhận diện: "hai đội cùng làm trong T giờ — đội 1 làm hơn/kém đội 2 là a giờ"
Hai đội cùng làm chung một công trình thì hoàn thành trong 12 ngày. Nếu làm riêng, đội 1 hoàn thành sớm hơn đội 2 là 10 ngày. Hỏi mỗi đội làm riêng hoàn thành công trình trong bao lâu?
Ẩn
x = thời gian đội 1 làm riêng (ngày), x > 12 .
PT
x 1 + x + 10 1 = 12 1 , dẫn đến x 2 − 14 x − 120 = 0 .
Giải
Δ ′ = 49 + 120 = 169 , x = 20 hoặc x = − 6 (loại).
Đáp án · Đội 1 làm riêng 20 ngày, đội 2 làm riêng 30 ngày.
Dạng C · Hình học — kích thước thay đổi
Nhận diện: "tăng chiều dài, giảm chiều rộng — diện tích thay đổi"
Một thửa đất hình chữ nhật có diện tích 240 m 2 . Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài đi 4 m thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu.
Ẩn
x = chiều rộng (m), x > 0 . Khi đó chiều dài = x 240 .
PT
( x + 3 ) ( x 240 − 4 ) = 240 , dẫn đến x 2 + 3 x − 180 = 0 .
Giải
Δ = 9 + 720 = 729 , x = 12 hoặc x = − 15 (loại).
Đáp án · Chiều rộng 12 m, chiều dài 20 m.
Dạng D · Số học — chữ số có 2 hàng
Nhận diện: "số có 2 chữ số — tích / tổng các chữ số — đảo chữ số"
Tìm số có hai chữ số biết rằng tích hai chữ số bằng 12 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 36 đơn vị.
Ẩn
a = chữ số hàng chục, b = chữ số hàng đơn vị. Điều kiện 1 \le a \le 9 , 0 \le b \le 9 .
PT
ab = 12 và ( 10 b + a ) − ( 10 a + b ) = 36 , tức b − a = 4 . Thay b = a + 4 : a ( a + 4 ) = 12 .
Giải
a 2 + 4 a − 12 = 0 , a = 2 hoặc a = − 6 (loại). Vậy a = 2 , b = 6 .
Đáp án · Số cần tìm là 26 .
THCS AI LUKATO
Khái niệm 10 phút · Toán 9
Chủ đề 05
P.06 · Tổng kết
Bước 5 · Tổng kết
Bí kíp thực chiến + Chủ đề tiếp
Cô đọng những điểm cốt lõi cần nhớ trong vòng 1 phút trước khi vào phòng thi. Bảng tổng kết quy trình 5 bước, Top 3 lỗi sai phổ biến và báo trước Chủ đề 06.
Tổng kết 5 bước · Bài toán bậc hai thực tế
Bước · Cốt lõi cần nhớ
B1 · Đặt ẩn · Chọn đại lượng cần tìm là x , ghi đơn vị + điều kiện x > 0 (hoặc khoảng)
B2 · Biểu diễn · Dùng bảng 3 cột, biểu diễn các đại lượng phụ thuộc theo x
B3 · Lập PT · Dịch điều kiện đề bài thành đẳng thức, đưa về dạng a x 2 + b x + c = 0
B4 · Giải · Tính Δ (hoặc Δ ′ ), tìm x 1 , x 2 . Kiểm tra mẹo nhẩm a + b + c = 0
B5 · Đối chiếu · Loại nghiệm vi phạm điều kiện. Trả lời theo ngữ cảnh kèm đơn vị
Top 3 Lỗi sai phổ biến
01
Quên đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu — Phương trình bậc hai thường có 2 nghiệm. Quên kiểm tra cả hai và loại nghiệm vi phạm là lỗi mất điểm số 1 ở Câu 3. Bắt buộc viết rõ "loại x 2 vì vi phạm x > 0 ".
02
Quy đồng sai khi lập phương trình — Đặc biệt với phương trình có dạng x S \pm x + a S = b , quy đồng sai dẫn đến phương trình bậc hai sai và toàn bộ bài sai. Phải nhân chéo cẩn thận.
03
Trả lời chỉ ghi "x = ..." — Câu trả lời cuối phải theo ngữ cảnh đề bài kèm đơn vị. Ví dụ "Vận tốc lúc đi là 50 km/h", không phải " x = 50 ". Đây là lỗi trình bày đáng tiếc.
Báo trước Chủ đề tiếp
Chủ đề 06 · Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Định lí Pythagore mở rộng + 4 hệ thức lượng cốt lõi: b 2 = a ⋅ b ′ , h 2 = b ′ ⋅ c ′ , b c = ah , h 2 1 = b 2 1 + c 2 1 . Cùng tỉ số lượng giác sin , cos , tan , cot của góc nhọn — chuyển sang hình học giải tích lớp 9.
Quét mã để luyện tập thêm
THCS AI LUKATO
Tự động tạo 200+ câu hỏi áp dụng Chủ đề 05. Lời giải tiếng Việt cấp giáo viên chuyên ngay tức thì.
THCS AI LUKATO · Toán 9 · Chủ đề 05
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.