Hệ thức Vi-ét: công thức, ứng dụng và các dạng bài tìm m (Toán 9)
Hệ thức Vi-ét x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a và các ứng dụng: nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tổng và tích, tính giá trị biểu thức đối xứng, tìm m thỏa mãn điều…
Nội dung hệ thức Vi-ét
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì:
- S = x₁ + x₂ = −b/a
- P = x₁ · x₂ = c/a
Điều kiện bắt buộc: phương trình phải có nghiệm (Δ ≥ 0). Đây là bước học sinh hay quên nhất khi giải bài tìm m.
Tìm hai số biết tổng và tích
Hai số u, v có u + v = S, u · v = P là nghiệm của phương trình X² − SX + P = 0 (điều kiện S² − 4P ≥ 0).
Ví dụ: hai số có tổng 7, tích 12 là nghiệm của X² − 7X + 12 = 0, tức 3 và 4.
Biến đổi biểu thức đối xứng
| Biểu thức | Biến đổi theo S và P |
|---|---|
| x₁² + x₂² | S² − 2P |
| (x₁ − x₂)² | S² − 4P |
| 1/x₁ + 1/x₂ | S / P |
| x₁³ + x₂³ | S³ − 3SP |
| x₁²x₂ + x₁x₂² | P · S |
Dạng bài tìm m (thường gặp trong đề vào 10)
Ví dụ. Cho phương trình x² − 2(m + 1)x + m² + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x₁² + x₂² = 22.
- Điều kiện có nghiệm: Δ' = (m + 1)² − (m² + 3) = 2m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1.
- Vi-ét: S = 2(m + 1), P = m² + 3.
- x₁² + x₂² = S² − 2P = 4(m + 1)² − 2(m² + 3) = 2m² + 8m − 2.
- Giải 2m² + 8m − 2 = 22 ⇔ m² + 4m − 12 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = −6.
- Đối chiếu điều kiện m ≥ 1 ⇒ m = 2.
Xét dấu nghiệm
- Hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 (hay ac < 0).
- Hai nghiệm dương phân biệt ⇔ Δ > 0, S > 0, P > 0.
- Hai nghiệm âm phân biệt ⇔ Δ > 0, S < 0, P > 0.