[THCS 6] Garden Geometry Money Lab · Chu vi -> Diện tích -> Doanh thu
Bài giảng nền tảng THCS 6 về chu vi, diện tích và mô hình khu vườn: suy kích thước từ nửa chu vi, phân biệt các dạng lối đi, giải thích phần giao, kiểm tra…
TOÁN 6 · HÌNH HỌC VÀ MÔ HÌNH THỰC TẾ
Từ đường bao đến phần đất thực sự sử dụng
Cùng một khu vườn có thể đặt ra ba câu hỏi khác nhau: cần bao nhiêu mét hàng rào, có bao nhiêu mét vuông trồng rau, và phần trồng rau tạo ra bao nhiêu doanh thu? Mỗi câu hỏi đo một đại lượng riêng.
Mục tiêu: phân biệt chu vi và diện tích; tìm kích thước còn thiếu; mô hình hóa lối đi; tính phần diện tích hữu ích và chuyển diện tích thành tiền theo một đơn giá đã cho.
Cần biết trước: phép tính với số tự nhiên, số thập phân; hình chữ nhật và hình vuông; đơn vị độ dài và diện tích. Các số tiền trong bài là dữ kiện minh họa, không phải dự báo giá bán thực tế.
01 · ĐO ĐƯỜNG BAO HAY ĐO MẶT ĐẤT?
Hai phép đo khác nhau tạo ra hai công thức
Hình chữ nhật có hai cạnh dài bằng L, hai cạnh rộng bằng W. Đi một vòng quanh đường bao phải đi tổng cộng L+W+L+W, nên chu vi là P=2(L+W). Đơn vị của P là đơn vị độ dài, chẳng hạn mét.
Diện tích đo số ô vuông đơn vị phủ kín mặt hình. Khi L,W là các số nguyên tính theo mét, mỗi hàng có L ô một mét vuông và có W hàng, nên S=LW. Công thức cũng áp dụng cho kích thước thập phân khi chia ô nhỏ hơn. Đơn vị là mét vuông, không phải mét.
Chu vi
Hỏi về hàng rào, đường viền, một vòng quanh hình → cộng độ dài các cạnh ngoài.
Diện tích
Hỏi về mặt đất, lát nền, phần trồng cây → tính phần mặt phẳng được sử dụng.
Hình vuông cạnh s là trường hợp L=W=s, nên P=4s và S=s^2.
Cùng chu vi không có nghĩa cùng diện tích: hình vuông 14\times14 và hình chữ nhật 16\times12 đều có chu vi 56 m, nhưng diện tích lần lượt là 196\,\mathrm{m}^2 và 192\,\mathrm{m}^2. Chu vi chỉ cho biết tổng hai kích thước, chưa cho biết tích của chúng.
02 · DỊCH CÂU CHỮ THÀNH QUAN HỆ
Nửa chu vi giúp tìm cạnh nhanh và đúng
Giả sử một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng 12 m, chu vi bằng chu vi một hình vuông cạnh 14 m. Ta biết chu vi hình vuông là 4\cdot14=56 m. Với khu vườn, nửa chu vi chính là tổng một chiều dài và một chiều rộng:
L+12=\frac{56}{2}=28,\qquad L=28-12=16\text{ m}.
Đây là cách viết gọn của phương trình 2(L+12)=56. Kiểm tra lại: 2(16+12)=56, đúng với dữ kiện ban đầu.
Quy trình có thể dùng lại: đổi về cùng đơn vị → xác định chu vi P → tính nửa chu vi P/2 → trừ cạnh đã biết. Công thức L=P/2-W chỉ tạo được một hình chữ nhật không suy biến khi 0\lt W\lt P/2.
Nếu đề gọi L là cạnh dài và W là cạnh rộng, còn phải kiểm tra L\ge W. Nếu số tính ra trái với cách gọi, cần đọc lại dữ kiện, không âm thầm đổi ý nghĩa của các cạnh.
Tự kiểm tra: chỉ biết chu vi 56 m thì đã tìm được diện tích chưa?
Chưa. Cả 16\times12, 18\times10 và 14\times14 đều có chu vi 56 m, nhưng diện tích là 192, 180, 196\,\mathrm{m}^2. Cần thêm dữ kiện để xác định hai kích thước, chẳng hạn biết một cạnh hoặc biết quan hệ giữa chúng.
03 · LỐI ĐI LÀ MỘT HÌNH CỤ THỂ
Không chỉ biết “rộng 2 m”: còn phải biết chạy theo hướng nào
Trong khu vườn 16 m × 12 m, giả sử có một dải lối đi hình chữ nhật rộng 2 m, chạy thẳng suốt cạnh 12 m . Dải này nằm hoàn toàn trong vườn; không có lối đi nào khác. Chiều dài của dải là 12 m, còn bề rộng của dải là 2 m.
Diện tích lối đi là 2\cdot12, không phải 2\cdot16. Hai kích thước phải thuộc chính dải lối đi đang xét.
Diện tích toàn vườn là 16\cdot12=192\,\mathrm{m}^2. Diện tích dải lối đi là 2\cdot12=24\,\mathrm{m}^2. Vì đất trồng và lối đi không chồng lên nhau và ghép lại đúng toàn vườn:
S_{\text{trồng}}=192-24=168\text{ m}^2.
Một cách tính nhanh có cùng cơ sở
Hai phần đất trồng ở hai bên có tổng bề ngang 16-2=14 m và cùng chiều dọc 12 m. Ghép chúng lại, ta được một hình chữ nhật 14\times12. Vì thế:
S_{\text{trồng}}=(16-2)\cdot12=168\text{ m}^2.
Đẳng thức LW-wW=(L-w)W chính là tính phân phối. Cách này tiết kiệm một phép nhân và một phép trừ lớn, nhưng chỉ áp dụng trực tiếp khi lối đi là một dải chạy suốt cạnh W như mô tả.
Đổi hướng là đổi mô hình: nếu dải rộng 2 m chạy suốt cạnh 16 m, diện tích lối đi là 2\cdot16=32\,\mathrm{m}^2, và diện tích trồng còn 160\,\mathrm{m}^2. Không thể chỉ nhớ “trừ 24” mà bỏ qua sơ đồ.
04 · MÔ HÌNH PHẢI KHỚP CẤU TRÚC
Một dải, hai dải cắt nhau và đường viền là ba trường hợp
Với một dải rộng w chạy suốt cạnh W của vườn L\times W, ta có S_{\text{trồng}}=(L-w)W. Điều kiện hình học là L,W>0, 0\le w\le L. Hai giá trị biên có ý nghĩa: w=0 là chưa có lối đi; w=L là toàn bộ vườn trở thành lối đi.
Vị trí dải nằm giữa hay sát một cạnh không làm đổi diện tích nếu nó vẫn nằm trọn trong vườn, có cùng bề rộng và chạy suốt W. Vị trí có thể ảnh hưởng cách đi lại thực tế, nhưng không ảnh hưởng phép tính diện tích này.
Mở rộng: nếu có hai dải vuông góc cắt nhau thì sao?
Giả sử cả hai dải rộng w, một dải chạy suốt W, một dải chạy suốt L, và chúng cắt nhau thành một hình vuông w\times w trong vườn. Tổng wW+wL đếm phần giao hai lần, nên diện tích lối đi là wW+wL-w^2. Diện tích trồng là LW-wW-wL+w^2=(L-w)(W-w), với 0\le w\le\min(L,W).
Với L=16, W=12, w=2, hai dải chiếm 24+32-4=52\,\mathrm{m}^2; đất trồng còn 140\,\mathrm{m}^2. Không được trừ thẳng 24+32 vì phần giao đã bị trừ hai lần.
Mở rộng: nếu lối đi tạo thành một viền bên trong thì sao?
Nếu lối đi rộng đều w chạy dọc cả bốn cạnh bên trong, hình chữ nhật trồng cây ở giữa có kích thước L-2w và W-2w. Diện tích trồng là (L-2w)(W-2w) với 0\le w\le\min(L,W)/2. Mỗi kích thước giảm 2w vì có lối đi ở cả hai phía.
Với vườn 16\times12 và viền rộng 2 m, đất trồng còn 12\times8=96\,\mathrm{m}^2. Con số khác hẳn trường hợp chỉ một dải; hình dạng lối đi là dữ kiện thiết yếu.
Kiểm nhanh mô hình: thay w=0 phải thu lại LW; tăng w trong miền hợp lệ không được làm diện tích trồng tăng; diện tích còn lại phải nằm từ 0 đến LW. Các phép kiểm này phát hiện nhiều sai sót, nhưng không thay thế việc xác định đúng hình.
05 · TỪ DIỆN TÍCH SANG TIỀN
Đơn giá quyết định cần nhân với đại lượng nào
Giả sử, trong một vụ thu hoạch, mỗi mét vuông đất trồng tạo ra doanh thu 50\,000 đồng, đồng đều trên toàn phần đất trồng. Với 168\,\mathrm{m}^2, doanh thu theo mô hình là:
R=168\cdot50\,000=8\,400\,000\text{ đồng}.
Kiểm tra đơn vị: \text{m}^2\cdot(\text{đồng}/\text{m}^2)=\text{đồng}. Kiểm nhanh số học bằng cách tách 50\,000=5\cdot10\,000: 168\cdot5=840, rồi nhân 10\,000.
Doanh thu chưa phải lợi nhuận: nếu có chi phí giống, phân bón, nhân công, vận chuyển…, phải trừ những chi phí được cung cấp để tính lợi nhuận. Bài chỉ cho doanh thu trên mỗi mét vuông thì không tự suy ra lợi nhuận bằng cùng số tiền.
Nếu đơn giá là đồng trên mỗi kilôgam rau, không được nhân trực tiếp với mét vuông. Cần thêm năng suất, chẳng hạn q\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^2, rồi mới tính R=S_{\text{trồng}}\cdot q\cdot p với p đồng/kg. Đơn vị ở giữa sẽ khử lần lượt về đồng.
Độ rộng lối đi làm doanh thu thay đổi thế nào?
Trong mô hình một dải, nếu L,W và doanh thu trên mỗi mét vuông r không đổi, tăng bề rộng từ w lên w+\Delta w làm mất thêm diện tích W\Delta w. Doanh thu giảm rW\Delta w, miễn cả hai bề rộng còn nằm trong miền hợp lệ.
Ở vườn đang xét, tăng từ 2 m lên 2{,}5 m làm mất thêm 12\cdot0{,}5=6\,\mathrm{m}^2, nên doanh thu giảm 6\cdot50\,000=300\,000 đồng. Đây là tính nhanh bằng phần thay đổi; không cần tính lại toàn bộ từ đầu.
Giới hạn của kết luận: đây là mô hình giữ nguyên năng suất và đơn giá. Trong thực tế, lối đi có thể ảnh hưởng việc chăm sóc, vận chuyển hoặc năng suất. Chưa có dữ liệu thì không kết luận lối đi hẹp nhất là phương án kinh tế tốt nhất.
06 · TỰ KIỂM TRA VÀ CHUYỂN GIAO
Đọc hình, đọc đơn vị, rồi mới chọn phép tính
1. Cùng chu vi 56 m, hình vuông 14 × 14 và vườn 16 × 12 hơn kém diện tích thế nào?
Diện tích hình vuông là 196\,\mathrm{m}^2, vườn là 192\,\mathrm{m}^2, chênh 4\,\mathrm{m}^2. Kết quả bác bỏ suy luận “cùng chu vi nên cùng diện tích”. Dữ kiện chu vi nói về tổng cạnh, còn diện tích nói về tích cạnh.
2. Đường đi rộng 2 m chạy theo cạnh 16 m: còn bao nhiêu đất trồng?
Dải lối đi có diện tích 2\cdot16=32\,\mathrm{m}^2. Phần còn lại là 192-32=160\,\mathrm{m}^2, hoặc tính nhanh 16(12-2)=160\,\mathrm{m}^2. Hướng chạy quyết định cạnh nào được giữ nguyên và cạnh nào giảm đi.
3. Một dải chạy suốt cạnh 12 m tăng rộng từ 2 m lên 3 m: doanh thu giảm bao nhiêu?
Diện tích giảm thêm 12(3-2)=12\,\mathrm{m}^2; với 50\,000\,\text{đồng}/\mathrm{m}^2 trong cùng một vụ, doanh thu giảm 600\,000 đồng. Kiểm lại: diện tích mới (16-3)12=156\,\mathrm{m}^2, doanh thu mới 7\,800\,000 đồng, thấp hơn 8\,400\,000 đúng 600\,000.
Một sơ đồ tư duy có thể dùng cho bài khác
- Đại lượng: đề hỏi đường bao, mặt đất hay tiền? Ghi đơn vị mong muốn.
- Kích thước: dùng dữ kiện chu vi hoặc quan hệ cạnh để tìm các độ dài còn thiếu.
- Phần hình: chỉ rõ vùng giữ lại, vùng loại đi, và phần giao nếu có.
- Phép tính: chọn “toàn bộ trừ phần bỏ” hoặc “ghép phần còn lại”, kèm điều kiện hình học.
- Kiểm tra: diện tích có hợp lí, đơn vị có khớp, và số tiền là doanh thu hay lợi nhuận?
Kĩ năng cốt lõi không nằm ở việc nhớ đáp số của một khu vườn. Nó nằm ở việc biến lời mô tả thành một hình đúng và một chuỗi đại lượng có ý nghĩa.
Hình chính dùng cùng tỉ lệ trên hai trục. Số tiền là giả định minh họa theo một vụ thu hoạch; các phần mở rộng có thể mở bằng bàn phím.