[THCS 6] UCLN Decision Lab · Chia nhóm tối đa bằng cấu trúc ước chung
Bài giảng nền tảng THCS 6: hiểu ý nghĩa ƯCLN từ chia đều, chứng minh bằng thừa số nguyên tố và thuật toán Euclid, chọn phương pháp tính nhanh có điều kiện…
LUKATO · NỀN TẢNG SỐ HỌC · THCS 6
Ước chung lớn nhất
Từ ý nghĩa chia đều đến cách chọn phương pháp nhanh, có căn cứ.
Mục tiêu không phải ghi nhớ một đáp số. Bạn sẽ biết biến yêu cầu thực tế thành điều kiện chia hết, giải thích vì sao thuật toán đúng và tự kiểm tra kết quả.
1. Câu hỏi cốt lõi: đại lượng nào phải chia hết?
Giả sử có hai loại vật với số lượng là các số nguyên dương a và b. Ta muốn chia hết chúng vào k nhóm giống nhau: mỗi nhóm nhận cùng số vật loại thứ nhất và cùng số vật loại thứ hai. Không bỏ thừa, không chia nhỏ từng vật.
k\mid a\quad\text{và}\quad k\mid b.
Kí hiệu k\mid a có nghĩa là tồn tại số nguyên q sao cho a=kq. Trong tình huống trên, thương a/k chính là số vật loại thứ nhất trong mỗi nhóm. Vì thế, mọi số nhóm hợp lệ là một ước chung của a và b.
Định nghĩa. Ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a,b, kí hiệu \operatorname{ƯCLN}(a,b), là số nguyên dương lớn nhất là ước của cả hai số. Số này luôn tồn tại vì 1 là ước chung và mọi ước chung không vượt quá \min(a,b).
Đọc kĩ cụm “các nhóm giống nhau”: số vật hai loại trong cùng một nhóm không nhất thiết bằng nhau. Chẳng hạn, mỗi nhóm có thể có hai vật loại thứ nhất và ba vật loại thứ hai; điều cần bằng nhau là cơ cấu giữa các nhóm.
Kiến thức cần có: phép chia có dư, ước và bội, số nguyên tố. Bài học tập trung vào các số nguyên dương để mỗi đại lượng đều có ý nghĩa rõ ràng.
2. Nhìn cấu trúc chung thay vì thử ngẫu nhiên
Với 48 và 72, có thể chọn một đơn vị chung là 24:
48=2\cdot24,\qquad72=3\cdot24.
Độ dài hai thanh theo đúng tỉ lệ 2:3. Hình cho thấy 24 là một ước chung; để kết luận đó là ước chung lớn nhất , ta còn cần lập luận.
Mọi ước chung d của 48 và 72 cũng phải là ước của hiệu 72-48=24. Do đó d\le24. Mặt khác, cả hai số đều chia hết cho 24. Hai chiều này cùng nhau chứng minh \operatorname{ƯCLN}(48,72)=24.
Cách kiểm tra mạnh: “là ước của cả hai” chứng minh một số là ước chung. “mọi ước chung đều không lớn hơn nó” mới chứng minh tính lớn nhất. Đừng bỏ mất nửa sau.
3. Phương pháp thừa số nguyên tố: vì sao lấy số mũ nhỏ nhất?
Một ước chung chỉ được dùng những thừa số nguyên tố có trong cả hai số. Với mỗi số nguyên tố, số bản sao được dùng không thể vượt quá số bản sao có ở bên ít hơn.
48=2^4\cdot3,\qquad72=2^3\cdot3^2.
Muốn là ước của cả 48 và 72, một ước chung có thể chứa tối đa ba thừa số 2 và một thừa số 3. Chọn toàn bộ phần chung cho số lớn nhất:
\operatorname{ƯCLN}(48,72)=2^{\min(4,3)}3^{\min(1,2)}=24.
Tổng quát, viết hai số bằng cùng một danh sách các số nguyên tố p_i, cho phép số mũ bằng 0 khi một thừa số không xuất hiện:
a=\prod_i p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod_i p_i^{\beta_i}\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{ƯCLN}(a,b)=\prod_i p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}.
Nên dùng khi: các số đã được phân tích thành thừa số hoặc có cấu trúc lũy thừa dễ thấy. Nếu hai số lớn và khó phân tích, đừng dành quá nhiều thời gian tìm số nguyên tố; thuật toán Euclid thường thuận tiện hơn.
Không lấy số mũ lớn nhất. Cách đó xây dựng một bội chung nhỏ nhất, không phải ước chung lớn nhất. Với hai số trên, 2^4\cdot3^2=144 còn lớn hơn cả 48, nên không thể là ước của 48.
4. Euclid: đổi bài toán mà không đổi tập ước chung
Giả sử a\ge b>0. Thực hiện phép chia có dư a=qb+r, với 0\le r\lt b. Khi r>0, ta có:
\operatorname{ƯCLN}(a,b)=\operatorname{ƯCLN}(b,r).
Chiều thứ nhất
Nếu d\mid a và d\mid b, thì d\mid(a-qb)=r. Vậy d là ước chung của b và r.
Chiều ngược lại
Nếu d\mid b và d\mid r, thì d\mid(qb+r)=a. Vậy d cũng là ước chung của a và b.
Hai cặp có đúng cùng tập ước chung, nên có cùng ước chung lớn nhất. Nếu r=0, thì b\mid a và ta kết luận ngay \operatorname{ƯCLN}(a,b)=b. Đây là lí do thuật toán đúng, chứ không chỉ là một mẹo ghi nhớ.
Minh họa cách theo dõi phép chia:
252=1\cdot198+54,\qquad198=3\cdot54+36, 54=1\cdot36+18,\qquad36=2\cdot18+0.
Số dư dương cuối cùng là 18. Khi số dư bằng 0, số bị chia chia hết cho số chia cuối cùng; số chia cuối cùng chính là ƯCLN. Các số dư dương giảm dần, nên quá trình chắc chắn kết thúc.
Vì sao phải dừng ở 18, không lấy 0?
Ở bước cuối, cặp cần xét là (36,18). Vì 18\mid36, mọi ước chung của cặp đều là ước của 18, và chính 18 là ước chung. Số 0 không thể đóng vai trò số nhóm hay số chia ở đây.
5. Kĩ năng tính nhanh có điều kiện
Nhìn quan hệ chia hết trước
Nếu b\mid a và b>0, lập tức có \operatorname{ƯCLN}(a,b)=b. Không cần phân tích cả hai số. Chứng minh: b là ước chung, và không ước chung nào vượt quá b.
Hai số gần nhau: xét hiệu
Với b>a>0, \operatorname{ƯCLN}(a,b)=\operatorname{ƯCLN}(a,b-a). Ví dụ, cặp 1001,1008 đưa về 1001,7; vì 1001=143\cdot7, ƯCLN là 7.
Tách một thừa số chung rõ ràng
Với c,m,n nguyên dương, \operatorname{ƯCLN}(cm,cn)=c\operatorname{ƯCLN}(m,n). Có thể chứng minh bằng số mũ nguyên tố: cộng cùng số mũ của c vào hai bên rồi lấy giá trị nhỏ nhất.
Hai số liên tiếp
Với n\ge1, mọi ước chung của n và n+1 phải là ước của hiệu bằng 1, nên ƯCLN là 1. Không mở rộng kết luận này thành “hai số lẻ bất kì đều nguyên tố cùng nhau”.
Hiệu là gợi ý, không luôn là đáp số. Với 18,30, hiệu là 12 nhưng 18 không chia hết cho 12. Ta phải tiếp tục tìm \operatorname{ƯCLN}(18,12)=6. Với hai số bằng nhau, hiệu bằng 0; lúc đó ƯCLN chính là số ban đầu.
Chiến lược hợp lí: kiểm tra chia hết và cấu trúc dễ thấy trước, rồi chọn phân tích thừa số hoặc Euclid. “Nhanh” đến từ việc nhận ra cấu trúc, không đến từ bỏ qua điều kiện.
6. Chuyển ngôn ngữ thực tế thành mô hình đúng
Với 48 vật loại A và 72 vật loại B, số nhóm giống nhau nhiều nhất là 24. Mỗi nhóm có 48/24=2 vật A và 72/24=3 vật B. Số nhóm và số vật mỗi nhóm là hai đại lượng khác nhau.
Không phải chỉ có một cách chia hợp lệ. Ta có k\mid48 và k\mid72 khi và chỉ khi k\mid24. Do đó, tất cả số nhóm hợp lệ là các ước dương của 24:
k\in\{1,2,3,4,6,8,12,24\}.
Điều này cũng cho phép xử lí ràng buộc bổ sung. Nếu mỗi nhóm phải có ít nhất ba vật A, thì 48/k\ge3, tức k\le16. Trong các ước của 24 không vượt quá 16, số lớn nhất là 12. Lúc này, lấy ngay 24 sẽ bỏ qua điều kiện.
Khi cần một ước chung
Chia hết lượng có sẵn thành các phần bằng nhau, cắt các đoạn dài bằng nhau mà không thừa, tìm kích thước nguyên chung lớn nhất. Cần xác định rõ thứ gì đang chia thứ gì.
Khi cần một bội chung
Tìm một thời điểm dương là bội của hai chu kì, khi các hoạt động bắt đầu đồng thời. Nếu thời điểm bắt đầu lệch nhau, không thể tự động lấy BCNN của hai chu kì làm đáp án.
Nếu đo độ dài, hãy đổi về cùng đơn vị trước khi áp dụng mô hình số nguyên. Nếu cho phép bỏ thừa, cắt nhỏ vật hoặc các nhóm không cần giống nhau, mô hình ƯCLN phải được xét lại.
7. Tự kiểm tra tư duy, không học thuộc đáp số
Hãy giải thích bằng lời trước khi mở gợi ý. Mục tiêu là kiểm tra cách chọn mô hình và chứng minh, không phải tốc độ bấm máy.
“48 và 72 đều chia hết cho 6, nên 6 là ƯCLN.” Lập luận thiếu gì?
Ta mới chứng minh 6 là ước chung, chưa chứng minh lớn nhất. Số 24 cũng là ước của cả hai và lớn hơn 6. Cần tìm cấu trúc toàn bộ phần chung hoặc dùng Euclid.
Nếu ƯCLN của hai số là 12, có thể chia thành đúng 8 nhóm giống nhau không?
Không, theo mô hình chia hết, không bỏ thừa. Mọi số nhóm hợp lệ phải là ước của 12; 8 không phải là ước của 12. Chỉ kiểm tra “8 nhỏ hơn 12” là chưa đủ.
Vì sao 36 và 60 có thể chia thành 12 nhóm, mỗi nhóm có cơ cấu 3 và 5?
60=36+24 và 36=24+12, nên Euclid cho ƯCLN bằng 12. Hai thương 3 và 5 nguyên tố cùng nhau, nghĩa là không thể tiếp tục chia nhỏ mỗi nhóm thành các nhóm nhỏ hơn nhưng vẫn giống nhau mà vẫn giữ số lượng nguyên.
Hai số đều là hợp số thì ƯCLN có nhất thiết lớn hơn 1?
Không. 8=2^3 và 9=3^2 đều là hợp số nhưng không có thừa số nguyên tố chung, nên ƯCLN bằng 1. “Nguyên tố cùng nhau” nói về quan hệ giữa hai số, không yêu cầu mỗi số phải là số nguyên tố.
Tóm tắt để tự vận dụng: xác định đại lượng cần chia hết → viết điều kiện → chọn phương pháp có căn cứ → chứng minh tính lớn nhất → kiểm tra điều kiện phụ và diễn giải kết quả đúng đơn vị.
LUKATO · Hiểu bản chất, chọn đúng phương pháp, tự kiểm chứng.