[THCS 9] Minimum Value under xy=12 · Đổi biến, AM-GM & khóa dấu bằng
THCS 9 inequality masterclass với xy=12: đặt x=2t,y=6/t, nén về u=t+1/t>=2 và chứng minh Pmin=11/4 tại x=2,y=6 không dùng đạo hàm.
THCS 9 · INEQUALITY OPTIMIZATION
Minimum Value under xy=12 · Đổi biến, AM-GM & khóa dấu bằng
Điểm khó không nằm ở AM-GM, mà ở việc thiết kế phép đặt để điều kiện xy=12 biến thành một cặp t và 1/t. Sau đó khóa cận và khóa luôn dấu bằng.
xy constant substitution design AM-GM equality case
01 · Bài toán
x,y>0, xy=12
P=2/x + 6/y + 9/(3x+y)
Mục tiêu là tìm GTNN mà không dùng đạo hàm.
01A · SVG thiết kế phép đặt
02 · Chuẩn hóa điều kiện tích
Đặt x=2t với t>0. Từ xy=12:
y=6/t
Khi đó:
2/x=1/t, 6/y=t
3x+y=6t+6/t=6(t+1/t)
Suy ra:
P = t + 1/t + 3/[2(t+1/t)]
03 · Nén về một biến u
Đặt:
u=t+1/t \ge 2
theo AM-GM. Khi đó:
P=u+3/(2u)
04 · Chứng minh không cần đạo hàm
So với 11/4:
P-11/4 = [4u^{2}-11u+6]/(4u)
= [(4u-3)(u-2)]/(4u) \ge 0
vì u \ge 2. Do đó:
Pmin=11/4
Dấu bằng khi u=2, tức t=1. Suy ra:
x=2, y=6
05 · Numeric Explorer
x>0
06 · Vì sao đặt x=2t?
Ta muốn 2/x và 6/y biến thành 1/t và t — một cặp nghịch đảo để dùng AM-GM. Đây là “thiết kế phép đặt”, không phải mẹo ngẫu nhiên.
07 · Error Clinic
Dùng AM-GM từng phân thức rời
Dễ mất điều kiện dấu bằng chung.
Đặt y=12/x nhưng không chuẩn hóa
Vẫn đúng nhưng biểu thức khó nhìn hơn.
Chỉ tìm cận, không kiểm dấu bằng
GTNN cần đạt được.
Quên x,y>0
AM-GM và mẫu số đều cần điều kiện dương.