[THCS 9] Right-Triangle Projection Masterclass · Đường cao, hình chiếu & đẳng thức EF^3
THCS 9 geometry masterclass: giải tam giác B=60 deg, tính AH=3sqrt3,BH=3,CH=9; chứng minh AEHF chữ nhật và EF^3=BC·BE·CF bằng chuỗi hệ thức lượng.
THCS 9 · METRIC GEOMETRY
Right-Triangle Projection Masterclass · Đường cao, hình chiếu & đẳng thức EF³
Cấu hình này là bước nâng cấp trực tiếp từ hình chữ nhật lớp 8 sang hệ thức lượng lớp 9: cùng một hình, nhưng giờ phải nối đường cao, hình chiếu và đẳng thức bậc ba.
right triangle altitude projection metric identities proof
01 · Giải tam giác trước khi chứng minh
ΔABC vuông tại A, ∠B=60°, AB=6 cm ⇒ ∠C=30°.
BC=12, AC=6\sqrt{3}
Đường cao AH xuống BC:
AH=AB·AC/BC=3\sqrt{3}
BH=AB^{2}/BC=3, CH=AC^{2}/BC=9
02 · SVG projection map
03 · Tại sao EF=AH?
HE⊥AB và AC⊥AB ⇒ HE∥AC. Tương tự HF∥AB. Do đó AEHF là hình chữ nhật. Hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau:
EF=AH=3\sqrt{3}
04 · Chuỗi đẳng thức để chứng minh EF^{3}=BC·BE·CF
Trong tam giác vuông ABH, HE là đường cao xuống cạnh huyền AB:
BH^{2}=AB·BE ⇒ BE=BH^{2}/AB
Trong tam giác vuông ACH, HF là đường cao xuống cạnh huyền AC:
CH^{2}=AC·CF ⇒ CF=CH^{2}/AC
Mặt khác, diện tích ΔABC cho:
AB·AC=BC·AH
Và hệ thức đường cao:
AH^{2}=BH·CH
Suy ra:
BC·BE·CF = BC·BH^{2}CH^{2}/(AB·AC) = BH^{2}CH^{2}/AH = AH^{3} = EF^{3}
Đẳng thức được chứng minh bằng cách nối ba “hệ thức lượng” qua cùng đại lượng AH.
05 · Numeric Verifier
BC BE CF EF
06 · Giá trị cụ thể của BE, CF
Với BH=3, CH=9, AB=6, AC=6\sqrt{3}:
BE=BH^{2}/AB=9/6=3/2
CF=CH^{2}/AC=81/(6\sqrt{3})=9\sqrt{3}/2
Do đó hai vế đều bằng 81\sqrt{3.}
07 · Error Clinic
Dùng tọa độ quá sớm
Có thể đúng nhưng che mất chuỗi hệ thức lượng đẹp.
Nhầm BE với BH
BE là hình chiếu trên AB, không phải đoạn trên BC.
Không chứng minh AEHF là HCN
EF=AH cần cầu nối này.
Biến đổi đích không có chiến lược
Hãy đưa BE,CF về BH,CH rồi dùng AH^{2}=BH·CH.